Skip to main content

Теория: Построение графика функции \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\)

Задание

Изменяя параметры \(\displaystyle k,\,a\) и \(\displaystyle b\) у функции \(\displaystyle y=k(x-a)^2+b\) (с точностью до сотых),
постройте график функции \(\displaystyle y=3x^2-12x+13{\small .}\)

 Запишите координаты точки 

\(\displaystyle \color{green}{S}=(\)\(\displaystyle ;\)\(\displaystyle )\)

c точностью до десятых

Решение

Найдем для параболы \(\displaystyle y=3x^2-12x+13\) вершину, используя правило.

Правило

Координаты вершины параболы

Если парабола задана уравнением \(\displaystyle y=ax^2+bx+c{\small ,}\) то координаты вершины можно найти по формулам:

\(\displaystyle x_{0}=\frac{-b}{2a}\)

и

подставляя \(\displaystyle x_0\) в уравнение, можно найти \(\displaystyle y_0{\small .}\)

Для уравнения

\(\displaystyle y=3x^2-12x+13{\small .}\)

\(\displaystyle a=3,\, b=-12\) и \(\displaystyle c=13{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle x_0=-\frac{-12}{2\cdot 3},\) то есть \(\displaystyle x_0=2{\small .}\)

Подставляя \(\displaystyle x_0=2\) в уравнение \(\displaystyle y=3x^2-12x+13{\small ,}\) получаем

\(\displaystyle y_0=3\cdot 2^2-12\cdot 2+13{\small ,}\)

\(\displaystyle y_0=1{\small .}\)

Таким образом, вершина имеет координаты \(\displaystyle (2;\,1){\small .} \)

Запишем уравнение параболы в таком виде, чтобы можно было использовать сдвиг.

Напомним, что

Определение

Вершина параболы, заданной уравнением \(\displaystyle y=k(x-a)^2+b\)

Вершиной параболы, заданной уравнением \(\displaystyle y=k(x-a)^2+b{ \small ,}\) называется точка с координатами \(\displaystyle (a;\,b){\small.}\)

Мы нашли вершину: \(\displaystyle (2;1){\small .}\)

Тогда данный график задан уравнением \(\displaystyle y=\color{red}{k}(x-2)^2+1\) для некоторого коэффициента \(\displaystyle \color{red}{k}{\small .}\)

По условию был дан график функции \(\displaystyle y=\color{red}{3}x^2-12x+13{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle \color{red}{k}=\color{red}{3}\) и данная парабола может быть задана уравнением

\(\displaystyle y=3(x-2)^2+1{\small .}\)

Построим параболу, используя метод сдвига.

Чтобы получить \(\displaystyle y=3(x-2)^2+1\) из \(\displaystyle y=k x^2{ \small ,}\) надо:

  1. установить значение \(\displaystyle k=3{ \small ,} \)
  2. сдвинуть график на две единицы вправо вдоль оси \(\displaystyle \rm OX{\small ,}\)
  3. сдвинуть график вверх на одну единицу вдоль оси \(\displaystyle \rm OY{\small .}\)

Тогда точка \(\displaystyle S \) имеет координаты \(\displaystyle (4;\,2){\small .} \)