Найдите наибольший общий делитель:
\(\displaystyle \text{НОД}(504,1323)=\)
Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители;
2) выбрать общие простые множители в наименьших степенях;
3) произведение этих множителей и будет наибольшим общим делителем двух чисел.
1. Выпишем простые множители двух чисел.
Разложим числа \(\displaystyle 504\) и \(\displaystyle 1323\) на простые множители:
\(\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7\);
\(\displaystyle 1323=3^{3}\cdot 7^{2}\).
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7\) – это \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\).
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 1323=3^{3}\cdot 7^{2}\) – это \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 7\).
Общие простые множители: \(\displaystyle {\bf 3}\) и \(\displaystyle {\bf 7}\).
2. Выберем общие простые множители в наименьших степенях.
Рассмотрим \(\displaystyle 3^2\) в первом числе и \(\displaystyle 3^3\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\) – это \(\displaystyle {\bf 2}\), следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 3^2=9\).
Рассмотрим \(\displaystyle 7^1\) в первом числе и \(\displaystyle 7^2\) во втором числе. Наименьшая степень из \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 2\) – это \(\displaystyle {\bf 1}\), следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 7^1=7\).
3. Таким образом, наибольшим общим делителем будет произведение \(\displaystyle 3^2\cdot 7\):
\(\displaystyle \text{НОД}(504,1323) = 3^{2}\cdot 7=9\cdot 7=63\).
Ответ: \(\displaystyle 63\).