В арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{11} + a_{12} = 21\). Найти
Решение 1.
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно обобщенному характеристическому свойству арифметической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{6} + a_{16}} = \color{blue}{ 2a_{11}}\) и \(\displaystyle \color{green}{ a_{7} + a_{17}} = \color{green}{ 2a_{12}}{\small .}\)
Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{6}} + \color{green}{ a_{7}}+ \color{blue}{ a_{16}}+ \color{green}{ a_{17}}= (\color{blue}{ a_{6} + a_{16}})+(\color{green}{ a_{7} + a_{17}})=\color{blue}{ 2a_{11}}+\color{green}{ 2a_{12}}=2(a_{11}+a_{12}){ \small .}\)
Значит, так как по условию \(\displaystyle a_{11}+a_{12}=21{ \small ,} \) то
\(\displaystyle a_{6} + a_{7} + a_{16} + a_{17} = 2\cdot 21=42{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 42{\small .}\)
Решение 2.
Обобщенное характеристическое свойство арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2\cdot a_{n}\)
\(\displaystyle a_{n}+a_{m}=a_{l}+a_{k}\) для любых \(\displaystyle n+m=k+l.\)
Согласно второму обобщенному характеристическому свойству арифметической прогрессии,
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{6} + a_{17}} = \color{blue}{ a_{11}+a_{12}}\) и \(\displaystyle \color{green}{ a_{7} + a_{16}} = \color{green}{ a_{11}+a_{12}}{\small .}\)
Тогда, группируя слагаемые в исходном равенстве, получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{ a_{6}} + \color{green}{ a_{7}}+ \color{green}{ a_{16}}+ \color{blue}{ a_{17}}= (\color{blue}{ a_{6} + a_{17}})+(\color{green}{ a_{7} + a_{16}})=(\color{blue}{ a_{11}+a_{12}})+(\color{green}{ a_{11}+a_{12}})=2(a_{11}+a_{12}){ \small .}\)
Значит, так как по условию \(\displaystyle a_{11}+a_{12}=21{ \small ,} \) то
\(\displaystyle a_{6} + a_{7} + a_{16} + a_{17} = 2\cdot 21=42{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 42{\small .}\)