Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-(7+6)x+7\cdot 6=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\),

\(\displaystyle x_2=\).

Решение

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Выделим в данном уравнении коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-(7+6)x+7\cdot 6= x^2 \color{green}{ -(7+6)}x+\color{blue}{ 7\cdot 6} {\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -(7+6)}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 7\cdot 6}{\small .}\)

То есть числа \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) и \(\displaystyle \color{red}{ 6 }\) такие, что

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ 7}+\color{red}{ 6}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ 7}\cdot \color{red}{ 6}&=c {\small .}\end{aligned}\right. \)

Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) и \(\displaystyle \color{red}{ 6 }\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle x^2-(7+6)x+7\cdot 6=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle 7 \) и \(\displaystyle 6{\small .} \)