Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-(-4-9)x+(-4)\cdot (-9)=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\),

\(\displaystyle x_2=\).

Решение

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Выделим в данном уравнении коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-(-4-9)x+(-4)\cdot (-9)= x^2 \color{green}{ -(-4-9)}x+\color{blue}{ (-4)\cdot (-9)} {\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -(-4-9)}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ (-4)\cdot (-9)}{\small .}\)

То есть числа \(\displaystyle \color{red}{ -4}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -9}\) такие, что

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ -4}\color{red}{ -9}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ (-4)}\cdot \color{red}{ (-9)}&=c {\small .}\end{aligned}\right. \)

Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ -4}\) и \(\displaystyle \color{red}{ -9}\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle x^2-(-4-9)x+(-4)\cdot (-9)=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle -4\) и \(\displaystyle -9{\small .} \)