Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle x^2-9x+14=0{\small .}\)
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-9x+14= x^2 \color{green}{ -9}x+\color{blue}{ 14} {\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -9}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ 14}{\small ,}\) и в нашем случае обратная теорема Виета примет вид
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x_1+x_2&=9{ \small ,}\\[5px] x_1\cdot x_2&=14 {\small .}\end{aligned}\right. \)
Разложим свободный член \(\displaystyle c\) на множители различными способами.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ 14}= 1\cdot 14\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=14{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=9\) для \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=14{\small :}\)
\(\displaystyle 1+14\, \cancel{=}\, 9{\small .}\)
Значит, наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 14\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ 14}= (-1)\cdot (-14)\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=-14{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=9\) для \(\displaystyle x_1=-1\) и \(\displaystyle x_2=-14{\small :}\)
\(\displaystyle (-1)+(-14)\, \cancel{=}\, 9{\small .}\)
Значит, наше предположение неверно, так как числа \(\displaystyle -1\) и \(\displaystyle -14\) не удовлетворяют обратной теореме Виета.
Из разложения \(\displaystyle \color{blue}{ 14}= 2\cdot 7\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small .}\)
Проверим, верно ли равенство \(\displaystyle x_1+ x_2=9\) для \(\displaystyle x_1=2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small :}\)
\(\displaystyle 2+7 =9{\small .}\)
Значит, наше предположение верно, так как числа \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7\) удовлетворяют обратной теореме Виета.
Таким образом, \(\displaystyle \color{red}{ 2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2-9x+14=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 7{\small .} \)