Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:
\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7=0{\small .}\)
\(\displaystyle x_1=\),
\(\displaystyle x_2=\).
Обратная теорема Виета
Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)
то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)
Выделим в данном уравнении коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7= x^2 \color{green}{ -5}x+\color{blue}{ (-2)\cdot 7} {\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -5}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{(-2)\cdot 7}{\small .}\)
Из равенства \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ (-2)\cdot 7}\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small .}\)
Проверим, удовлетворяют ли данные числа обратной теореме Виета.
Действительно, числа \(\displaystyle \color{red}{ -2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) такие, что
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ (-2)}+\color{red}{ 7}&=-(\color{green}{ -5}){ \small ,}\\[5px]\color{red}{ (-2)}\cdot \color{red}{ 7}&=\color{blue}{ (-2)\cdot 7} {\small.}\end{aligned}\right. \)
Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ -2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) – корни квадратного уравнения
\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7=0{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 7{\small .} \)