Решите неравенство:
\(\displaystyle 8x^2-32x-256<0{\small .}\)
Вынесем в многочлене \(\displaystyle 8x^2-32x-256 \) общий множитель за скобки:
\(\displaystyle 8x^2-32x-256=8(x^2-4x-32){\small .} \)
Получили неравенство \(\displaystyle 8(x^2-4x-32)<0{\small .} \)
Упростим это неравенство, разделив обе его части на \(\displaystyle 8{\small : } \)
\(\displaystyle \color{blue}{ 8}(x^2-4x-32)<0 \,| : \color{blue}{ 8}\)
\(\displaystyle x^2-4x-32<0{\small .} \)
Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2-4x-32 \) на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2-4x-32=\color{red}{ 1}\cdot x^2\color{green}{ -4}\cdot x\color{blue}{ -32}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ -4}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -32}{\small .} \)
Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2-4x-32=0{ \small ,} \)
и найдем его корни.
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= (\color{green}{-4})^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -32})=16+128=144\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 144}=12{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-(-4)+12}{2}=\frac{16}{2}=8{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-(-4)-12}{2}=\frac{-8}{2}=-4{\small .}\)
Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 8\) и \(\displaystyle -4{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle x^2-4x-32=\color{red}{ 1}\cdot (x-8)(x-(-4))=(x-8)(x+4) {\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2-4x-32<0 \) превращается в неравенство
\(\displaystyle (x-8)(x+4)<0{\small .}\)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x-8)(x+4)<0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (x-8)(x+4)<0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x-8>0{ \small ,}\, x+4<0\) – первый множитель положительный, второй отрицательный;
- либо \(\displaystyle x-8<0{ \small ,}\, x+4>0\) – первый множитель отрицательный, второй положительный.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&>0{ \small ,}\\x+4 &< 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-8&< 0{ \small ,}\\x+4& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>8{ \small ,}\\x&< -4\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 8{ \small ,}\\x& > -4{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Таким образом, получили:
\(\displaystyle x\in (-4;8){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-4;8){\small .} \)