Skip to main content

Теория: 04 Квадратные неравенства с положительным дискриминантом

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle -3x^2-12x+63<0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Вынесем в многочлене \(\displaystyle -3x^2-12x+63 \) общий множитель за скобки:

\(\displaystyle -3x^2-12x+63=-3(x^2+4x-21){\small .} \)

Получили неравенство \(\displaystyle -3(x^2+4x-21)<0{\small .} \)

Упростим это неравенство, разделив обе его части на \(\displaystyle -3{\small . } \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -3}(x^2+4x-21)<0 \,| : \color{blue}{ -3}\)

\(\displaystyle x^2+4x-21>0{\small .} \)


Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2+4x-21 \) на множители.

\(\displaystyle x^2+4x-21=(x-3)(x+7) \)

Выделим коэффициенты:

\(\displaystyle x^2+4x-21=1\cdot x^2+4\cdot x-21=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 4}\cdot x\color{blue}{ -21}{\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 4}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -21}{\small .} \)

Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:

\(\displaystyle x^2+4x-21=0{ \small ,} \)

и найдем его корни.

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{4}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -21})=16+84=100\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 100}=10{\small .} \)

Найдем корни уравнения:

\(\displaystyle x_1= \frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)

\(\displaystyle x_2= \frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7{\small .}\)

Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.

Правило

Разложение на множители

\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)

где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)

В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle -7{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle x^2+4x-21=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-7))=(x-3)(x+7) {\small .}\)

Значит, неравенство \(\displaystyle x^2+4x-21>0 \) превращается в неравенство

\(\displaystyle (x-3)(x+7)>0{\small .}\)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x-3)(x+7)>0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Все решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x+7)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x-3>0{ \small ,}\, x+7>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x-3<0{ \small ,}\, x+7<0\) – оба множителя отрицательны.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+7&> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+7& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x&> -7\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& < -7{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>3{ \small ,}\\ x &>-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>3\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>-7\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle 3\) и больше \(\displaystyle -7{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (3;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x&<3{ \small ,}\\ x &<-7{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< 3\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x<-7\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 3\) и меньше \(\displaystyle -7{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-7){\small .} \)

 


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (3;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) {\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (3;+\infty){\small .} \)