Решите неравенство:
\(\displaystyle -3x^2-12x+63<0{\small .}\)
Вынесем в многочлене \(\displaystyle -3x^2-12x+63 \) общий множитель за скобки:
\(\displaystyle -3x^2-12x+63=-3(x^2+4x-21){\small .} \)
Получили неравенство \(\displaystyle -3(x^2+4x-21)<0{\small .} \)
Упростим это неравенство, разделив обе его части на \(\displaystyle -3{\small . } \)
При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:
\(\displaystyle \color{blue}{ -3}(x^2+4x-21)<0 \,| : \color{blue}{ -3}\)
\(\displaystyle x^2+4x-21>0{\small .} \)
Разложим квадратный трехчлен \(\displaystyle x^2+4x-21 \) на множители.
Выделим коэффициенты:
\(\displaystyle x^2+4x-21=1\cdot x^2+4\cdot x-21=\color{red}{ 1}\cdot x^2+\color{green}{ 4}\cdot x\color{blue}{ -21}{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}, \color{green}{ b}=\color{green}{ 4}, \color{blue}{ c}=\color{blue}{ -21}{\small .} \)
Составим с данным трехчленом квадратное уравнение:
\(\displaystyle x^2+4x-21=0{ \small ,} \)
и найдем его корни.
Вычислим дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}= \color{green}{4}^2-4\cdot \color{red}{ 1}\cdot (\color{blue}{ -21})=16+84=100\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{ 100}=10{\small .} \)
Найдем корни уравнения:
\(\displaystyle x_1= \frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3{ \small ,}\)
\(\displaystyle x_2= \frac{-4-10}{2}=\frac{-14}{2}=-7{\small .}\)
Теперь разложим трехчлен на множители, используя правило.
Разложение на множители
\(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=\color{red}{ a}(X-x_1)(X-x_2){ \small ,}\)
где \(\displaystyle x_1 \) и \(\displaystyle x_2 \) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle \color{red}{ a}X^2+bX+c=0{\small .}\)
В нашем случае старший коэффициент \(\displaystyle \color{red}{ a}=\color{red}{ 1}{ \small ,} \) а корни равны \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle -7{\small .} \)
Значит,
\(\displaystyle x^2+4x-21=\color{red}{ 1}\cdot (x-3)(x-(-7))=(x-3)(x+7) {\small .}\)
Значит, неравенство \(\displaystyle x^2+4x-21>0 \) превращается в неравенство
\(\displaystyle (x-3)(x+7)>0{\small .}\)
Запишем неравенство \(\displaystyle (x-3)(x+7)>0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.
Все решения неравенства \(\displaystyle (x-3)(x+7)>0\) получаются, когда
- либо \(\displaystyle x-3>0{ \small ,}\, x+7>0\) – оба множителя положительны;
- либо \(\displaystyle x-3<0{ \small ,}\, x+7<0\) – оба множителя отрицательны.
Если это переписать в виде систем, то получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&>0{ \small ,}\\x+7&> 0\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&< 0{ \small ,}\\x+7& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенося все числа вправо, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>3{ \small ,}\\x&> -7\end{aligned}\right.\) или \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 3{ \small ,}\\x& < -7{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим получившиеся системы.
Объединяя полученные решения, получаем ответ:
\(\displaystyle x\in (3;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-7) {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-7)\cup (3;+\infty){\small .} \)