Решите неравенство:
\(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-3 }\le 0 \)
\(\displaystyle x \in \)
Найдем корни числителя \(\displaystyle x-2 \) и знаменателя \(\displaystyle x-3{\small : } \)
\(\displaystyle x-2=0 \) или \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=2 \) или \(\displaystyle x=3{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Так как \(\displaystyle x=2\) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то она обозначается закрашенной. Поскольку \(\displaystyle x=3 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили три интервала:
\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x-3}\) на каждом из интервалов.
- Для интервала \(\displaystyle (-\infty;2)\) выберем \(\displaystyle x=0{\small :}\)\(\displaystyle f(0)=\frac{0-2}{0-3}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;2){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (2;3)\) выберем \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\)\(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{2{,}5-2}{2{,}5-3}<0{\small .}\)Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (2;3){\small .}\)
- Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4{\small :}\)\(\displaystyle f(4)=\frac{4-2}{4-3}>0{\small .}\)Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
В итоге получаем:
Так как решения неравенства \(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-3 }\le 0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, и включают граничные невыколотые точки, то
\(\displaystyle [2;3)\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle x \in [2;3){\small .}\)
