Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 2\sin^213^{\circ}-\tg13^{\circ}\cdot\ctg13^{\circ}+2\cos^213^{\circ}=\)
По определению тангенса и котангенса:
\(\displaystyle \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) и \(\displaystyle \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}{\small.}\)
Подставляя в выражение, получаем:
\(\displaystyle\begin{aligned}2\sin^213^{\circ}-\tg13^{\circ}\cdot\ctg13^{\circ}+2\cos^213^{\circ}=&2\sin^213^{\circ}-\frac{\cancel{\sin13^{\circ}}}{\cancel{\cos13^{\circ}}}\cdot\frac{\cancel{\cos13^{\circ}}}{\cancel{\sin13^{\circ}}}+2\cos^213^{\circ}=\\[10px]=&2\sin^213^{\circ}-1+2\cos^213^{\circ}{\small.}\end{aligned}\)
Чтобы избавиться от квадратов синуса и косинуса одного и того же угла воспользуемся правилом:
Основное тригонометрическое тождество
Для любого угла \(\displaystyle \color{red}{\alpha}\) верно:
\(\displaystyle \sin^2\color{red}{\alpha}+\cos^2\color{red}{\alpha}=1\)
Тогда
\(\displaystyle 2\underline{\sin^2\color{red}{13^{\circ}}}-1+2\underline{\cos^2\color{red}{13^{\circ}}}=2(\underline{\sin^2\color{red}{13^{\circ}}}+\underline{\cos^2\color{red}{13^{\circ}}})-1=2\cdot1-1=1{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{\small.}\)