Skip to main content

Теория: Равенство дробей

Задание

Выберите дробь, равную данной:

\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y}=\)

 

Решение

Определение

Если \(\displaystyle \frac{A}{B}\) – рациональная дробь и \(\displaystyle C\) – ненулевое число или ненулевой многочлен, то

\(\displaystyle \frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B \cdot C}{\small .}\)

Из этого правила можно получить следующий критерий.

Правило

Критерий равенства дробей

\(\displaystyle \frac{\color{green}{A}}{\color{green}{B}}=\frac{\color{blue}{X}}{\color{blue}{Y}}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \color{green}{A}\cdot \color{blue}{Y}=\color{blue}{X}\cdot \color{green}{B}\)

\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y}=\frac{5x}{4yx+1}{\small ,}\)

так как  

  • \(\displaystyle 5xy\cdot (4yx+1)=\color{green}{20x^2y^2+5xy}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle (4y^2x+y)\cdot 5x=\color{blue}{20x^2y^2+5xy}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{20x^2y^2+5xy}=\color{blue}{20x^2y^2+5xy}{\small .}\)


\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y}\cancel{=}\frac{5y}{4y^2+1}{\small ,}\)

так как

  • \(\displaystyle 5xy\cdot (4y^2+1)=\color{green}{20xy^3+5xy}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle (4y^2x+y)\cdot 5y=\color{blue}{20xy^3+5y^2}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{20xy^3+5xy} \, \cancel{=}\, \color{blue}{20xy^3+5y^2}{\small .}\)


\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y} \, \cancel{=}\,\frac{xy}{4y^2x+y}{\small ,}\)

так как

  • \(\displaystyle 5xy\cdot (4y^2x+y)=\color{green}{20x^2y^3+5xy^2}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle (4y^2x+y)\cdot xy=\color{blue}{4x^2y^3+xy^2}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{20x^2y^3+5xy^2} \, \cancel{=}\,\color{blue}{4x^2y^3+xy^2}{\small .}\)


\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y}\, \cancel{=}\,\frac{4y^2x+y}{5xy} {\small ,}\)

так как

  • \(\displaystyle 5xy\cdot 5xy=\color{green}{25x^2y^2}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle (4y^2x+y)\cdot (4y^2x+y)=\color{blue}{16x^2y^4+8xy^3+y^2}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{25x^2y^2} \, \cancel{=}\, \color{blue}{16x^2y^4+8xy^3+y^2}{\small .}\)


\(\displaystyle \frac{5xy}{4y^2x+y}\, \cancel{=}\,\frac{4yx+1}{5x}{\small ,}\)

так как

  • \(\displaystyle 5xy\cdot 5x=\color{green}{25x^2y}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle (4y^2x+y)\cdot (4yx+1)=\color{blue}{16x^2y^3+8xy^2+y}{\small ,}\)
  • \(\displaystyle \color{green}{25x^2y} \, \cancel{=}\, \color{blue}{16x^2y^3+8xy^2+y}{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle \frac{5x}{4yx+1}{\small .}\)