На уроке присутствует \(\displaystyle 24\) учеников. Учитель хочет назначить двоих дежурных. Сколькими способами он может это сделать?
Необходимо выбрать двух дежурных из \(\displaystyle 24\) человек. Порядок выбора дежурных не важен.
Число сочетаний
Число способов, которыми можно выбрать ровно \(\displaystyle k\) элементов из множества, в котором \(\displaystyle n\) элементов, называется числом сочетаний и обозначается \(\displaystyle C^k_n {\small .}\)
Значит, нужно найти число сочетаний из \(\displaystyle 24\) по \(\displaystyle 2\small.\)
Число сочетаний из \(\displaystyle n\) по \(\displaystyle k\)
\(\displaystyle C^k_n =\frac{n!}{k!(n-k)!}{\small .}\)
Запись \(\displaystyle n!\) (\(\displaystyle n\) факториал) обозначает произведение чисел от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle n\small:\)
\(\displaystyle n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\small.\)
Подставляя в формулу \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{24}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{2} {\small,}\) получаем
\(\displaystyle C^{\color{blue}{2}}_{\color{red}{24}} =\frac{{\color{red}{24}}!}{\color{blue}{2}!(\color{red}{24}-\color{blue}{2})!}=\frac{24!}{2! \cdot 22!}{\small .}\)
Распишем факториалы и упростим полученное выражение:
\(\displaystyle C^2_{24} =\frac{24!}{2! \cdot 22!}= \frac{\cancel{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 22} \cdot 23 \cdot 24}{(1 \cdot 2)\cdot (\cancel{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 22})}=\frac{23 \cdot 24}{1 \cdot 2}= 23 \cdot 12 =276{\small .}\)
Значит, двух дежурных из \(\displaystyle 24\) человек можно выбрать \(\displaystyle 276\) способами.
Ответ: \(\displaystyle 276{\small .}\)