Теория: 05 Сочетания

Необходимо выбрать \(\displaystyle 2\) человек из \(\displaystyle 10\) членов команды. Порядок выбора не важен. 

Значит, нужно найти число сочетаний из \(\displaystyle 10\) по \(\displaystyle 2 \small.\)

Подставляя в формулу \(\displaystyle C^k_n =\frac{n!}{k!(n-k)!}\) \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{10}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{2} {\small,}\) получаем 

\(\displaystyle C^{\color{blue}{2}}_{\color{red}{10}} =\frac{{\color{red}{10}}!}{\color{blue}{2}!(\color{red}{10}-\color{blue}{2})!}=\frac{10!}{2! \cdot 8!}{\small .}\)

Распишем факториалы и упростим полученное выражение:

\(\displaystyle C^2_{10} =\frac{10!}{2! \cdot 8!}= \frac{\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} \cdot 9 \cdot 10 }{(1 \cdot 2 ) \cdot (\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 }) }=\frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2 }=45{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle 2\) человек из \(\displaystyle 10\) членов команды можно выбрать \(\displaystyle 45\) способами.

Необходимо выбрать \(\displaystyle 2\) человек из \(\displaystyle 8\) членов команды, которые не играют в первом матче. Порядок выбора не важен. 

Значит, нужно найти число сочетаний из \(\displaystyle 8\) по \(\displaystyle 2 \small.\)

Подставляя в формулу \(\displaystyle C^k_n =\frac{n!}{k!(n-k)!}\) \(\displaystyle \color{red}{n}=\color{red}{8}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{2} {\small,}\) получаем 

\(\displaystyle C^{\color{blue}{2}}_{\color{red}{8}} =\frac{{\color{red}{8}}!}{\color{blue}{2}!(\color{red}{8}-\color{blue}{2})!}=\frac{8!}{2! \cdot 6!}{\small .}\)

Распишем факториалы и упростим полученное выражение:

\(\displaystyle C^2_{8} =\frac{8!}{2! \cdot 6!}= \frac{\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} \cdot 7 \cdot 8 }{(1 \cdot 2 ) \cdot (\cancel{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 }) }=\frac{7 \cdot 8}{1 \cdot 2 }=28{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle 2\) человек из \(\displaystyle 8\) членов команды можно выбрать \(\displaystyle 28\) способами.

Воспользуемся правилом произведения для подсчета общего числа способов выбора игроков.

У нас:

• пару игроков на первый матч можно выбрать \(\displaystyle \color{blue}{\bf 45}\) способами;
• после любого варианта выбора игроков на первый матч есть \(\displaystyle \color{green}{ \bf 28}\) способов выбора игроков на второй матч.

Значит, по правилу произведения число способов, которыми можно выбрать игроков на два матча, равно

\(\displaystyle \color{blue}{ 45} \cdot \color{green}{ 28}=1260{\small .}\)