В нижнем левом углу сетки \(\displaystyle 5 \times 5\) сидит мышь, а в правом верхнем углу лежит сыр. Мышь умеет перемещаться по сторонам клеток только вверх и вправо. Сколько различных путей может выбрать мышь, чтобы добраться до сыра?
Рассмотрим, что представляют из себя различные пути из нижнего левого угла в верхний правый.
Будем обозначать ход мыши вверх буквой \(\displaystyle В{\small ,}\) а ход вправо – буквой \(\displaystyle П{\small .}\)
 |  |
Чтобы попасть из нижнего левого угла в верхний правый, мышь должна
- подняться на \(\displaystyle 5\) клетки вверх (сделать \(\displaystyle 5\) хода вверх)
- сместиться на \(\displaystyle 5\) клетки вправо (сделать \(\displaystyle 5\) хода вправо).
Значит, любой путь может быть записан как последовательность из пяти букв \(\displaystyle В\) и пяти букв \(\displaystyle П{\small .}\)
Таким образом, требуется найти, сколько существует последовательностей длины \(\displaystyle 10{\small,}\) в которых ровно \(\displaystyle 5\) позиции заняты буквой \(\displaystyle В{\small,}\) а остальные пять – буквой \(\displaystyle П{\small.}\)
Выберем номера пяти позиций, на которые поставим буквы \(\displaystyle В{\small,}\) тогда на остальных будут стоять буквы \(\displaystyle П{\small.}\)
То есть требуется выбрать пять позиции из десяти имеющихся (неважно, в каком порядке) или найти число сочетаний из \(\displaystyle \color{red}{10}\) по \(\displaystyle \color{blue}{5}{\small.}\)
Значит, для мыши существует \(\displaystyle 252\) различных путей из нижнего левого угла сетки в верхний правый.
Ответ: \(\displaystyle 252{\small .}\)