В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее двух и не более трех девочек. Вероятность рождения девочки принять равной \(\displaystyle 0{,}49{\small .}\)
Формула Бернулли
1. Проводятся \(\displaystyle n\) одинаковых независимых испытаний.
2. В каждом испытании два исхода:
событие \(\displaystyle A\) происходит с вероятностью \(\displaystyle 0<p<1\) или не происходит с вероятностью \(\displaystyle q=1-p{\small .}\)
Тогда вероятность того, что в этих \(\displaystyle n\) испытаниях событие \(\displaystyle A\) наступит ровно \(\displaystyle k\) раз, равна
\(\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}\, p^{k}\cdot q^{n-k}\)
или
\(\displaystyle P_{n}(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \, p^{k}\cdot q^{n-k}{\small .}\)
В нашем случае, \(\displaystyle p=0{,}49\) и
\(\displaystyle q=1-p=1-0{,}49=0{,}51{\small .}\)
Найдём вероятность рождения не менее двух и не более трех девочек из пяти детей.
Событие рождения не менее двух и не более трех девочек из пяти детей состоит из двух несовместных событий:
- рождение трех девочек из пяти детей:
\(\displaystyle P_{5}(3)={ C}_{5}^{3}\, 0{,}49 ^{3}\cdot 0{,}51^{5-3}=10\cdot 0{,}49^{3}\cdot 0{,}51^{2}{\small ,}\)
- рождение двух девочек из пяти детей:
\(\displaystyle P_{5}(2)={ C}_{5}^{2}\, 0{,}49 ^{2}\cdot 0{,}51^{5-2}=10\cdot 0{,}49^{2} \cdot 0{,}51^{3}{\small .}\)
Тогда вероятность рождения не менее двух и не более трех девочек из пяти детей равна:
\(\displaystyle P_{5}(3)+P_{5}(2)=10\cdot 0{,}49^{3}\cdot 0{,}51^{2}+10\cdot 0{,}49^{2} \cdot 0{,}51^{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 10\cdot 0{,}49^{3}\cdot 0{,}51^{2}+10\cdot 0{,}49^{2} \cdot 0{,}51^{3}{\small .}\)