Отрезок \(\displaystyle AB\) разделен точкой \(\displaystyle C\) в отношении \(\displaystyle 3:1.\) На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки \(\displaystyle C\) и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
По условию, на отрезок \(\displaystyle AB\small,\) разделенный точкой \(\displaystyle C\) в отношении \(\displaystyle 3:1\small,\) наудачу брошено четыре точки. Требуется найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки \(\displaystyle C\) и две – правее.
Рассмотрим отрезок \(\displaystyle AB\small,\) разделенный точкой \(\displaystyle C\) в отношении \(\displaystyle 3:1\small .\)
Длины отрезков \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle CB\) составляют три четверти и четверть длины отрезка \(\displaystyle AB \small .\)
То есть требуется найти вероятность того, что две точки попадут на отрезок \(\displaystyle AC{\small ,}\) а две – на \(\displaystyle CB \small ,\) причем ни одна точка не попадает в точку \(\displaystyle C\small .\)
Рассмотрим событие попадания точки на отрезок \(\displaystyle AC\) в точку, отличную от точки \(\displaystyle C\small .\)
Так как вероятность попадания точки в конкретную точку равна нулю, то вероятность этого события равна вероятности попадания точки на отрезок \(\displaystyle AC\) и равна
\(\displaystyle p=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}{\small .}\)
Противоположным событием является событие попадания точки на отрезок \(\displaystyle CB\small .\)
Так как вероятность попадания точки в конкретную точку равна нулю, то противоположное событие равновероятно попаданию точки на отрезок \(\displaystyle CB\) в точку, отличную от точки \(\displaystyle C\small .\)
Формула Бернулли
Вероятность того, что в \(\displaystyle n\) независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна \(\displaystyle p\) (\(\displaystyle 0<p<1\)), событие наступит ровно \(\displaystyle k\) раз (порядок появления не имеет значения), равна
\(\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}\, p^{k}\cdot q^{n-k}\)
или
\(\displaystyle P_{n}(k)=\frac{n!}{k!(n-k)!} \, p^{k}\cdot q^{n-k}{\small ,}\)
где \(\displaystyle q=1-p{\small .}\)
В нашем случае, \(\displaystyle p=\frac{3}{4}{\small ,}\) \(\displaystyle k=2{\small ,}\) \(\displaystyle n=4{\small }\) и
\(\displaystyle q=1-p=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}{\small .}\)
Тогда вероятность того, что что две точки окажутся левее точки \(\displaystyle С\) и две – правее, равна
\(\displaystyle P_{4}(2)={ C}_{4}^{2}\, \left(\frac{3}{4}\right) ^{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{4-2}{\small ,}\)
\(\displaystyle P_{4}(2)=6\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{6\cdot 9\cdot 1}{16\cdot 16}=\frac{27}{128}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{27}{128}{\small .}\)