Упростите выражение:
Воспользуемся правилом
Возведение дроби в степень
Чтобы возвести дробь в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень.
\(\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{\color{red}{n}}= \frac{ x^{\color{red}{n}}}{ y^{\color{red}{n}} } \)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{x^2(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3}:\left(\frac{x^2+xy}{yz}\right)^{\color{blue}{2}}=\frac{x^2(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3}:\frac{(x^2+xy)^{\color{blue}{2}}}{(yz)^{\color{blue}{2}}}\small.\)
Выполним деление дробей:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{x^2(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3}:\frac{(x^2+xy)^{{2}}}{(yz)^{{2}}}=\frac{x^2(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3}\cdot\frac{(yz)^{{2}}}{(x^2+xy)^{{2}}}=\\[10px]=\frac{x^2(yz)^{{2}}(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3(x^2+xy)^{{2}}}\small.\end{aligned}\)
Чтобы упростить выражение, разложим \(\displaystyle x^2+2xy+y^2\) и \(\displaystyle x^2+xy\) на множители:
\(\displaystyle x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\) и \(\displaystyle x^2+xy=x(x+y)\small.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \frac{x^2(yz)^{{2}}(x^2+2xy+y^2)}{y^2z^3(x^2+xy)^{{2}}}=\frac{x^2(yz)^{{2}}(x+y)^2}{y^2z^3(x(x+y))^{{2}}}\small.\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \frac{x^2(yz)^{{2}}(x+y)^2}{y^2z^3(x(x+y))^{{2}}}=\frac{x^2y^2z^{{2}}(x+y)^2}{y^2z^3x^2(x+y)^{{2}}}\small.\)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle \frac{\cancel{x^2y^2z^{{2}}}\cancel{(x+y)^2}}{\cancel{y^2}z^{\cancel{3}}\cancel{x^2}\cancel{(x+y)^{{2}}}}=\frac{1}{z}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{z}\small.\)