Решите неравенство:
\(\displaystyle 28+(x+2)^3\leq x^2(6+x){\small.}\)
Ответ запишите в виде числового промежутка.
\(\displaystyle 28+\color{blue}{(x+2)^3}\leq x^2(6+x){\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle 28+\color{blue}{x^3+6x^2+12x+8}\leq x^2(6+x){\small.}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle 28+x^3+6x^2+12x+8\leq 6x^2+x^3{\small.}\)
Перенесём все переменные в левую часть неравенства, числа – в правую:
\(\displaystyle x^3+6x^2+12x-6x^2-x^3 \leq -28-8{\small;}\)
\(\displaystyle \color{Green}{\cancel{x^3}}+\color{brown}{\cancel{6x^2}}+12x-\color{brown}{\cancel{6x^2}}-\color{Green}{\cancel{x^3}} \leq -36{\small.}\)
Получили линейное неравенство:
\(\displaystyle 12x\leq -36{\small.}\)
Разделим обе части неравенства на \(\displaystyle 12{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle 12>0{\small,}\) то знак неравенства не меняется:
\(\displaystyle \frac{12x}{12}\leq \frac{-36}{\, \, \, 12}{\small;}\)
\(\displaystyle x\leq -3{\small.}\)
Запишем результат в виде числового промежутка:
\(\displaystyle x \in (-\infty;-3] {\small.} \)
Ответ:\(\displaystyle x \in (-\infty;-3] {\small.} \)