Решите двойное неравенство
\(\displaystyle 2<-\frac{x}{2}< 5{\small.}\)
\(\displaystyle x\in\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-\frac{x}{2}& > 2{ \small ,}\\[10pt]-\frac{x}{2}&< 5{\small .}\end{aligned}\right.\)
Левая часть каждого неравенства – дробь со знаменателем \(\displaystyle 2{\small .}\)
Умножим обе части каждого неравенства на \(\displaystyle 2{\small ,}\) чтобы избавиться от дробей:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-\frac{x}{2}& > 2{ \small } \,|\cdot \color{blue}{ 2>0}\\[10pt]-\frac{x}{2}&< 5 \,|\cdot \color{blue}{ 2>0}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 2>0{\small ,}\) знаки неравенств не меняем. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-x& > 4{ \small ,}\\-x&< 10{\small .}\end{aligned}\right.\)
Теперь разделим обе части каждого неравенства на коэффициент при \(\displaystyle {x}{\small :}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-x& > 4 \,\,\,\,|:\color{blue}{( -1)<0}\\-x&< 10 \,|:\color{blue}{ (-1)<0}\end{aligned}\right.\)
Так как оба этих коэффициента отрицательны, знаки неравенств изменим на противоположные. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x& < -4{ \small ,}\\x& > -10{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие данным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x< -4}{\small :}\)
Здесь же изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x > -10}{\small :}\)
Видим, что пересечение данных промежутков – промежуток \(\displaystyle (-10;-4){\small .} \)
То есть решением системы, а значит, и двойного неравенства является интервал \(\displaystyle (-10;-4){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-10;-4){\small .} \)