Решите двойное неравенство
\(\displaystyle 2<\frac{1-5x}{2}< 9{\small.}\)
\(\displaystyle x\in\)
\(\displaystyle 2<\frac{1-5x}{2}< 9{\small.}\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{1-5x}{2}& > 2{ \small ,}\\[10pt]\frac{1-5x}{2}&< 9{\small .}\end{aligned}\right.\)
Левая часть каждого неравенства – дробь со знаменателем \(\displaystyle 2{\small .}\)
Умножим обе части каждого неравенства на \(\displaystyle 2{\small ,}\) чтобы избавиться от дробей:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{1-5x}{2}& > 2{ \small } \,|\cdot \color{blue}{ 2>0}\\[10pt]\frac{1-5x}{2}&< 9 \,|\cdot \color{blue}{ 2>0}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 2>0{\small ,}\) знаки неравенств не меняем. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1-5x& > 4{ \small ,}\\1-5x&< 18{\small .}\end{aligned}\right.\)
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-5x& > 4-1{ \small ,}\\-5x&< 18-1{\small ;}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-5x& > 3{ \small ,}\\-5x&< 17{\small .}\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-5x& > 3\,\,\,\,|:\color{blue}{ ( -5)<0}\\-5x&< 17 \,|:\color{blue}{( -5)<0}\end{aligned}\right.\)
Так как оба этих коэффициента отрицательны, знаки неравенств изменим на противоположные. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{x}\,&{<-0{,}6}{ \small ,}\\{x}\,&{>-3{,}4}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие данным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Сначала изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x<-0{,}6}{\small :}\)
Здесь же изобразим промежуток, соответствующий неравенству \(\displaystyle {x>-3{,}4}{\small :}\)
Видим, что пересечение данных промежутков – промежуток \(\displaystyle (-3{,}4;-0{,}6){\small .} \)
То есть решением системы, а значит и двойного неравенства является интервал \(\displaystyle (-3{,}4;-0{,}6){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-3{,}4;-0{,}6){\small .} \)