При каких значениях \(\displaystyle x\) значения выражения
\(\displaystyle 2-\frac{x}{5}\)
принадлежат промежутку \(\displaystyle (-1;2){\small ?} \)
\(\displaystyle x\in\)
Значения выражения \(\displaystyle 2-\frac{x}{5}\) должны принадлежать промежутку \(\displaystyle (-1;2){\small.}\)
Это означает, что должно выполняться двойное неравенство
\(\displaystyle -1< 2-\frac{x}{5} < 2{\small.}\)
Решим его.
Промежуток \(\displaystyle (0;15)\) – решение двойного неравенства \(\displaystyle -1< 2-\frac{x}{5} < 2{\small.}\)
Запишем данное двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2-\frac{x}{5}& > -1{ \small ,}\\[8px]2-\frac{x}{5}& < 2{\small .}\end{aligned}\right.\)
Преобразуем каждое из линейных неравенств в данной системе к простейшему виду.
Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-\frac{x}{5}& > -1-2{ \small ,}\\[8px]-\frac{x}{5}& < 2-2{\small .}\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-\frac{x}{5}& > -3{ \small ,}\\[8px]-\frac{x}{5}& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Левая часть каждого неравенства – дробь со знаменателем \(\displaystyle 5{\small .}\)
Умножим обе части каждого неравенства на \(\displaystyle 5{\small ,}\) чтобы избавиться от дробей:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-\frac{x}{5}& > -3 \,{ \small }|\cdot \color{blue}{ 5>0}\\[8px]-\frac{x}{5}&< 0\,\,\,\,\,|\cdot \color{blue}{ 5>0}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 5>0{\small ,}\) знаки неравенств не изменяем. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-{x}& > -15 \,{ \small ,}\\-{x}&< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Теперь разделим обе части каждого неравенства на коэффициент при \(\displaystyle x{\small :}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-{x}& > -15 \,|: \color{blue}{ (-1)<0}\\-{x}&< 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \,|: \color{blue}{ (-1)<0}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle -1<0{\small ,}\) знаки неравенств изменим на противоположные. Получим:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color {green}{x}&\color {green}{< 15}{ \small ,}\\\color {red}{x}&\color {red}{> 0}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Изобразим числовые промежутки, соответствующие полученным неравенствам на числовой прямой.
Их пересечение и будет решением исходной системы.
Видим, что пересечение соответствующих промежутков – промежуток \(\displaystyle (0;15){\small .} \)
То есть решением системы, а значит, и двойного неравенства является интервал \(\displaystyle (0;15){\small .} \)
Это означает, что значения выражения \(\displaystyle 2-\frac{x}{5}\) принадлежат промежутку \(\displaystyle (-1;2){\small}\) при \(\displaystyle x\in(0;15){\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle x\in(0;15){\small .} \)