Найдите нули функции
\(\displaystyle y=\frac{x^2+x-2}{x^4-16}\small.\)
В ответе укажите меньший из нулей.
Напомним определение:
Нули функции \(\displaystyle y=f(x)\) – это такие значения \(\displaystyle x\small,\) для которых \(\displaystyle f(x)=0\small.\)
Тогда, чтобы найти нули функции, необходимо найти такие значения \(\displaystyle x\small,\) для которых
\(\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^4-16}=0\small.\)
\(\displaystyle x=1\small.\)
Решим уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^4-16}=0\small.\)
Дробь \(\displaystyle \frac{x^2+x-2}{x^4-16}=0\) равна нулю, если \(\displaystyle x^2+x-2=0\small,\,x^4-16\,\cancel=\,0\small.\)
1. Решим уравнение
\(\displaystyle x^2+x-2=0\small.\)
Дискриминант уравнения:
\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4\cdot(-2)=9\)
и
\(\displaystyle {\rm\sqrt{D}}=3\small.\)
Решения уравнения:
\(\displaystyle x_1=\frac{-1-3}{2}=-2\small,\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-1+3}{2}=1\small.\)
2. Проверим, не обращается ли знаменатель \(\displaystyle x^4-16{\small }\) в ноль при найденных значениях \(\displaystyle x{\small .}\)
- При \(\displaystyle x=-2\) получаем: \(\displaystyle {(-2)^4-16} =\,{0}\small.\)
Значит, \(\displaystyle x=-2\) не является решением уравнения. - При \(\displaystyle x=1\) получаем: \(\displaystyle {1^4-16}=-15\,\, \cancel =\,0\small.\)
Значит, \(\displaystyle x=1\) является решением уравнения.
Получили, что функция имеет один ноль:
\(\displaystyle x=1\small.\)
Ответ: \(\displaystyle x=1\small.\)