На кольцевой дорожке длиной \(\displaystyle 350\)м проводится эстафета, длина одного этапа которой составляет \(\displaystyle 200\)м. Какое наименьшее количество этапов может быть у эстафеты, если старт и финиш находятся в одном месте?
Общая длина эстафеты складывается из целого количества одинаковых по длине этапов. Значит, общая длина эстафеты в метрах делится на длину одного этапа, на \(\displaystyle 200\)м.
Общая длина эстафеты по условию складывается из целого количества одинаковых по длине кругов. Тогда общая длина эстафеты в метрах делится на длину одного круга, на \(\displaystyle 350\)м.
Поскольку требуется найти наименьшее количество этапов, нужно определить наименьшую возможную общую длину эстафеты, то есть нужно найти наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 200\) и \(\displaystyle 350\small.\)
Разложим числа \(\displaystyle 200\) и \(\displaystyle 350\) на простые множители:
\(\displaystyle 200=2^{3} \cdot 5^{2}\small;\)
\(\displaystyle 350=2\cdot 5^2\cdot 7\small.\)
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 200=2\cdot 3\cdot 5^{2}\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 5\small.\)
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 350=2\cdot 5^2\cdot 7\) – это \(\displaystyle 2\small,\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7\small.\)
Перечислим все простые множители в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\small,\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7\small.\)
Выберем все простые множители в наибольших степенях.
- Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\small.\) В первом числе это \(\displaystyle 2^{3}\small,\) а во втором числе это \(\displaystyle 2=2^{1}\small.\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 1\) – это \(\displaystyle 1\small.\) Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{3}=8\small.\)
- Рассмотрим степени \(\displaystyle 5\small.\) В первом числе это \(\displaystyle 5^{2}\small,\) во втором числе это \(\displaystyle 5^{2}\small.\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 2\) – это \(\displaystyle 2\small.\) Следовательно, третий общий множитель берем \(\displaystyle 5^{2}\small.\)
- Рассмотрим степени \(\displaystyle 7\small.\) В первом числе \(\displaystyle 7\) нет (считаем, что \(\displaystyle 7\) в нулевой степени), а во втором числе это \(\displaystyle 7=7^{1}\small.\) Наибольшая степень из \(\displaystyle 0\) и \(\displaystyle 1\) – это \(\displaystyle 1\small.\) Следовательно, четвертый общий множитель берем \(\displaystyle 7^{1}=7\small.\)
Таким образом, наименьшим общим кратным чисел \(\displaystyle 200\) и \(\displaystyle 350\) является произведение
\(\displaystyle 2^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7=8\cdot 25\cdot 7=200\cdot 7=1400\small.\)
Следовательно, наименьшая возможная общая длина эстафеты составляет \(\displaystyle 1400\)м, а наименьшее количество этапов равно
\(\displaystyle 1400 : 200=7\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 7\small.\)