Найдите сумму дробей. Результат упростите.
Заметим, что знаменатели дробей \(\displaystyle \frac{-16+7x}{(x-4)^2}\) и \(\displaystyle \frac{x-x^2}{(4-x)^2}\) содержат многочлены \(\displaystyle x-4\) и \(\displaystyle 4-x{\small ,}\) которые отличаются только знаком:
\(\displaystyle 4-x=-(x-4){\small .}\)
Найдём связь между квадратами этих многочленов.
\(\displaystyle (4-x)^2=(x-4)^2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{-16+7x}{(x-4)^2}+\frac{x-x^2}{(4-x)^2}=\)
\(\displaystyle =\frac{-16+7x}{(x-4)^2}+\frac{(x-x^2)}{(x-4)^2} =\)
\(\displaystyle =\frac{-16+7x+(x-x^2)}{(x-4)^2}=\)
\(\displaystyle =\frac{-16+7x+x-x^2}{(x-4)^2}=\)
\(\displaystyle =\frac{-x^2+8x-16}{(x-4)^2}{\small .}\)
Упростим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{-x^2+8x-16}{(x-4)^2}=\frac{-(x^2-8x+16)}{(x-4)^2}=\frac{-(x-4)^2}{(x-4)^2}=-1{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -1{\small .}\)