Найдите сумму дробей. Результат упростите.
Заметим, что знаменатели дробей \(\displaystyle \frac{x^2+9}{(x-3)^3}\) и \(\displaystyle \frac{6x}{(3-x)^3}\) содержат многочлены \(\displaystyle x-3\) и \(\displaystyle 3-x{\small ,}\) которые отличаются только знаком:
\(\displaystyle 3-x=-(x-3){\small .}\)
Найдём связь между кубами этих многочленов.
\(\displaystyle (3-x)^3=-(x-3)^3{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{x^2+9}{(x-3)^3}+\frac{6x}{(3-x)^3}=\frac{x^2+9}{(x-3)^3}+\frac{6x}{-(x-3)^3}{\small .}\)
Вынесем знак "минус" из знаменателя за знак дроби.
Знак перед дробью при этом поменяется с "плюса" на "минус":
\(\displaystyle \frac{x^2+9}{(x-3)^3}\color{Red}+\frac{6x}{-(x-3)^3}=\frac{x^2+9}{(x-3)^3}\color{Magenta}-\frac{6x}{(x-3)^3}{\small .}\)
Осталось найти разность дробей с одинаковыми знаменателями:
\(\displaystyle \frac{x^2+9}{(x-3)^3}-\frac{6x}{(x-3)^3} =\frac{x^2-6x+9}{(x-3)^3}{\small .}\)
Упростим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{(x-3)^3}=\frac{(x-3)^2}{(x-3)^3}=\frac{\cancel {(x-3)^2}}{(x-3)\cancel {(x-3)^2}}=\frac{1}{x-3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{x-3}{\small .}\)