Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=9w{\small.}\)
Поэтому
\(\displaystyle (7u\,)^2+2\cdot (7u\,) \cdot (9w\,)+(9w\,)^2=(7u+9w\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (7u+9w\,)^2{\small.}\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(7u\,)^2}+2(7u\,)(9w\,)+\color{green}{(9w\,)^2}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(7u\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(9w\,)^2}{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 7u\) или \(\displaystyle -7u{\small,}\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 9w\) или \(\displaystyle -9w\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=7u{\small,}\)
\(\displaystyle b=9w{\small.}\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(7u\,)^2+\color{red}{2(7u\,)(9w\,)}+(9w\,)^2{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(7u\,)(9w\,)\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 7u,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 9w{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 7u\cdot 9w{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab=2(7u\,)(9w\,){\small.}\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=9w{\small.}\)
Поскольку
\(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)
\(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2=(a+b\,)^2{\small,}\)
то, подставляя \(\displaystyle a=7u\) и \(\displaystyle b=9w\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (7u\,)^2+2(7u\,)(9w\,)+(9w\,)^2=(7u+9w\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (7u+9w\,)^2{\small.}\)