Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^{\, 2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 30st\) так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s\,)^2+2\cdot 5s\cdot 3t+(3t\,)^2{\small.}\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t{\small:}\)
\(\displaystyle (5s\,)^2+2\cdot 5s\cdot 3t+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (5s+3t\,)^2{\small.}\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(5s\,)^2+30st+(3t\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(5s\,)^2}+30st+\color{green}{(3t\,)^2}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(5s\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(3t\,)^2}{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 5s\) или \(\displaystyle -5s{\small,}\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 3t\) или \(\displaystyle -3t\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=5s{\small,}\)
\(\displaystyle b=3t{\small.}\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(5s\,)^2+\color{red}{30st}+(3t\,)^2{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}30st \)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 5s{\small,}\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 3t{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 5s\cdot 3t{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab=30st{\small.}\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t{\small.}\)
Поскольку
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(a+b\,)^2{\small,}\)
то, подставляя \(\displaystyle a=5s\) и \(\displaystyle b=3t\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (5s\,)^2+30st+(3t\,)^2=(5s+3t\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (5s+3t\,)^2{\small.}\)