Найдите квадрат суммы:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Заметим, что \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2{\small,}\) и поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата суммы была видна явно:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2{\small.}\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x{\small:}\)
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2=(3t+7x\,)^2{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2{\small.}\)
Второй способ (нахождение квадрата суммы по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(a+b\,)^2{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 49x^{\,2}=7^2x^{\,2}=(7x\,)^2\) и поэтому
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+(7x\,)^2{\small.}\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}+2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}+2(3t\,)(7x\,)+\color{green}{(7x\,)^2}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(3t\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7x\,)^2}{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 3t\) или \(\displaystyle -3t{\small,}\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 7x\) или \(\displaystyle -7x\) (см. решение уравнения \(\displaystyle X^{\,2}=a^{\,2}\)).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=3t{\small,}\)
\(\displaystyle b=7x{\small.}\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}+\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(3t\,)^2+\color{red}{2(3t\,)(7x\,)}+(7x\,)^2{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2(3t\,)(7x\,)\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 3t,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 7x{\small.}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 3t\cdot 7x{\small,}\)
\(\displaystyle 2ab=2(3t\,)(7x\,){\small.}\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x{\small.}\)
Поскольку
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(a+b\,)^2{\small,}\)
то, подставляя \(\displaystyle a=3t\) и \(\displaystyle b=7x\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (3t\,)^2+2(3t\,)(7x\,)+49x^{\,2}=(3t+7x\,)^2{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (3t+7x\,)^2{\small.}\)