Дополните выражение до полного квадрата суммы и запишите квадрат суммы:
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\big(\)\(\displaystyle \big)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}\)
является полным квадратом суммы. Необходимо найти второй квадрат.
Следовательно,
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(a+b\,)^2{\small , }\)
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=a^{\,2}+2ab+\color{red}{b^{\,2}}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small . }\)
Нам известен один квадрат и удвоенное произведение:
\(\displaystyle (3x\,)^2=a^{\,2}{\small , }\)
\(\displaystyle 6xy=2ab{\small . }\)
Неизвестен второй квадрат
\(\displaystyle \color{red}{?}=b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Из того, что \(\displaystyle a^{\,2}=(3x\,)^2{\small , }\) следует, что \(\displaystyle a=3x\) или \(\displaystyle a=-3x{\small . }\)
Возьмём \(\displaystyle a=3x{\small . }\)
Тогда подставляя в равенство \(\displaystyle 6xy=2ab{\small }\) вместо \(\displaystyle a\) выражение \(\displaystyle a=3x{\small , }\) получим:
\(\displaystyle 6xy=2\cdot 3x\cdot b{\small , }\)
\(\displaystyle 6xy=6xb{\small , }\)
\(\displaystyle b=\frac{6xy}{6x}{\small , }\)
\(\displaystyle b=y{\small . }\)
Поэтому недостающий квадрат равен
\(\displaystyle \color{red}{?}=y^{\,2}{\small . }\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+\,\color{red}{?}=(3x\,)^2+6xy+\color{red}{y^{\,2}}\)
и
\(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2{\small . }\)
Ответ: \(\displaystyle (3x\,)^2+6xy+y^{\,2}=(3x+y\,)^2{\small . }\)