Считая параметры \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle w\) положительными, дополните выражение удвоенным произведением так, чтобы получился полный квадрат суммы положительных чисел, и запишите его:
\(\displaystyle 81g^{\, 2}+\)\(\displaystyle +25w^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Нам известно, что выражение
\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}\)
является полным квадратом суммы, и необходимо найти удвоенное произведение.
Следовательно,
\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=(a+b\,)^2,\)
\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 81g^{\,2}=9^{\,2}g^{\,2}=(9g\,)^2\) и \(\displaystyle 25w^{\,2}=5^{\,2}w^{\,2}=(5w\,)^2.\)
Поэтому нам известны квадраты:
\(\displaystyle a^{\,2}=81g^{\,2}\) или \(\displaystyle a^{\,2}=(9g\,)^2,\)
\(\displaystyle b^{\,2}=25w^{\,2}\) или \(\displaystyle b^{\,2}=(5w\,)^2.\)
Неизвестно удвоенное произведение:
\(\displaystyle 2ab=\, \color{red}{ ?}\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{9g}\) или \(\displaystyle \color{green}{-9g},\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle \color{blue}{5w}\) или \(\displaystyle \color{green}{-5w}.\)
Поскольку параметры \(\displaystyle g\) и \(\displaystyle w\) положительны и нам требуется получить квадрат суммы положительных чисел, то \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) берем положительными, то есть со знаком "+":
\(\displaystyle a=\color{blue}{9g},\)
\(\displaystyle b=\color{blue}{5w}.\)
Поэтому
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 9g\cdot 5w,\)
\(\displaystyle 2ab=90gw.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, \color{red}{ ?} \, +25w^{\,2}=81g^{\,2}+\, \color{red}{ 90gw} \, +25w^{\,2},\)
и
\(\displaystyle 81g^{\,2}+\, 90gw \, +25w^{\,2}=(9g+5w\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle 81g^{\,2}+\, 90gw \, +25w^{\,2}=(9g+5w\,)^2.\)