Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{x+4}{x-2}+\frac{x-2}{x+4}=\frac{26}{5} {\small.}\)
Если уравнение имеет менее двух различных корней, оставьте последнюю ячейку пустой.
\(\displaystyle \frac{x+4}{x-2}+\frac{x-2}{x+4}=\frac{26}{5} \)
имеет смысл при
\(\displaystyle x\, \cancel{=} \, 2\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}-4{\small .}\)
Заметим, что
\(\displaystyle \frac{x-2}{x+4} =\frac{1}{\phantom{1}\dfrac{x+4}{x-2}\phantom{1}} \)
и сделаем замену переменной
\(\displaystyle t=\frac{x+4}{x-2} {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{x-2}{x+4}= \frac{1}{t}{\small .}\)
Исходное уравнение примет вид:
\(\displaystyle t+ \frac{1}{t}=\frac{26}{5}{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- приведем к общему знаменателю,
- воспользуемся правиломПравило
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
\(\displaystyle t+ \frac{1}{t}-\frac{26}{5}=0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac {5t^2-26t+5}{5t}=0{\small ,} \)
равносильное системе:
\(\displaystyle \begin{cases} 5t^2-26t+5=0{\small , } \\ 5t\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle 5t^2-26t+5=0\) имеет корни \(\displaystyle t=5\) и \(\displaystyle t=\frac{1}{5}{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle t=5\) и \(\displaystyle t=\frac{1}{5}\) являются решением системы.
Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=\frac{x+4}{x-2}{\small,}\) то
\(\displaystyle 5=\frac{x+4}{x-2}\) или \(\displaystyle \frac{1}{5}=\frac{x+4}{x-2}{\small.}\)
\(\displaystyle x=3{,}5{\small }\) и \(\displaystyle x=-5{,}5{\small.}\)
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=3{,}5{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-5{,}5{\small.}\)
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=3{,}5{\small,}\) |
| \(\displaystyle x_2=-5{,}5{\small .}\) |