В исходном уравнении
\(\displaystyle \frac{1}{x^2+x-2}+\frac{7}{x^2+x-20}+\frac{1}{4}=0\)
cделаем замену переменной \(\displaystyle t=x^2+x\) и получим уравнение\(\displaystyle \frac{1}{t-2}+\frac{7}{t-20}+\frac{1}{4}=0 {\small.}\)
Заметим, что переменная \(\displaystyle x\) входит в уравнение только в выражении \(\displaystyle x^2+x{\small.}\)
Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2+x{\small.}\)
В этом случае исходное уравнение примет вид
\(\displaystyle \frac{1}{t-2}+\frac{7}{t-20}+\frac{1}{4}=0 {\small.}\)
Решим полученное уравнение:
- приведем к общему знаменателю,
- воспользуемся правилом
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
После приведения к общему знаменателю и упрощений получим уравнение \(\displaystyle \frac {t^2+10t-96}{4(t-2)(t-20)}=0{\small } \)
Приведём выражение \(\displaystyle \frac{1}{t-2}+\frac{7}{t-20}+\frac{1}{4}\) к общему знаменателю \(\displaystyle 4(t-2)(t-20){\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{t-2}+\frac{7}{t-20}+\frac{1}{4}&=\frac{1 \cdot 4 \cdot (t-20) + 7 \cdot 4 \cdot (t-2) +1 \cdot (t-2) \cdot (t-20)}{4(t-2)(t-20)}=\\[10px]&=\frac{4t-80+28t-56+t^2-2t-20t+40}{4(t-2)(t-20)}=\\[10px]&=\frac {t^2+10t-96}{4(t-2)(t-20)}{\small .} \end{aligned}\)
Получаем уравнение
\(\displaystyle \frac {t^2+10t-96}{4(t-2)(t-20)}=0{\small .}\)
равносильное системе:
\(\displaystyle \begin{cases} t^2+10t-96=0{\small , } \\ 4(t-2)(t-20)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle t^2+10t-96=0\) имеет корни \(\displaystyle t=6\) и \(\displaystyle t=-16{\small .}\)
\(\displaystyle {\rm D}=10^2-4 \cdot (-96)=100+384=484=22^2{\small .}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}t_1&=\frac{-10+22}{2}=6{ \small ,}\\[5px]t_2&=\frac{-10-22}{2}=-16{\small .}\end{aligned}\)
\(\displaystyle 4(t-2)(t-20)\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle t\, \cancel{=} \, 2\) и \(\displaystyle t\, \cancel{=} \,20{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle t{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle t(t-2)(t-20)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)
| \(\displaystyle t-2\, \cancel{=}\, 0\) | и | \(\displaystyle t-20\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) |
| \(\displaystyle t\, \cancel{=}\, 2{ \small ,}\) | | \(\displaystyle t\, \cancel{=}\,20{\small .}\) |
Значит, \(\displaystyle t=6\) и \(\displaystyle t=-16\) являются решением системы.
\(\displaystyle 6\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\) \(\displaystyle 6\, \cancel{=}\,20{ \small ,}\)
и
\(\displaystyle -16\, \cancel{=} \, 2{ \small ,}\) \(\displaystyle -16\, \cancel{=}\,20{ \small .}\)
Вернемся к переменной \(\displaystyle x\) (сделаем обратную замену).
Так как \(\displaystyle {t}=x^2+x{\small,}\) то
\(\displaystyle 6=x^2+x\) или \(\displaystyle -16=x^2+x{\small.}\)
Перепишем уравнения в виде:
| \(\displaystyle x^2+x-6=0{\small,}\) | | \(\displaystyle x^2+x+16=0{\small}\) |
и решим каждое из них.
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+x-6=0\) имеет корни \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=-3{\small .}\)
\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4 \cdot (-6)=1+24=25=5^2{\small .}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{-1+5}{2}=2{ \small ;}\\[5px]x_2&=\frac{-1-5}{2}=-3{\small .}\end{aligned}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+x+16=0\) не имеет действительных корней.
\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4 \cdot 16 =1-64=-63<0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle {\rm D}<0{\small ,}\) квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Значит, корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=-3{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
Последние две ячейки следует оставить пустыми.
| Ответ: | \(\displaystyle x_1=-3{\small,}\) |
| | \(\displaystyle x_2=2{\small.}\) |