Теория: 03 Дробно-рациональные уравнения - 3 (замена переменной) (короткая версия)

Заметим, что переменная \(\displaystyle x\) входит в уравнение только в выражении \(\displaystyle x^2-5x{\small.}\)

Поэтому можно сделать замену переменной \(\displaystyle t=x^2-5x{\small.}\) 

В этом случае уравнение примет вид

\(\displaystyle \frac{2}{t+6}+\frac{3}{t+7}=\frac{8}{t+8}\,\,\,\,\, (1){\small.}\)

Если же переписать исходное уравнение в виде

\(\displaystyle \frac{2}{\color{red}{x^2-5x+7}-1}+\frac{3}{\color{red}{x^2-5x+7}}=\frac{8}{\color{red}{x^2-5x+7}+1}\)

и сделать замену переменной 

\(\displaystyle t=\color{red}{x^2-5x+7} {\small,}\)

то получим уравнение

\(\displaystyle \frac{2}{t-1}+\frac{3}{t}=\frac{8}{t+1}\,\,\,\,\, (2){\small.}\)

Видим, что общий знаменатель уравнения \(\displaystyle (2)\) проще, чем уравнения \(\displaystyle (1){\small.}\) Значит, его решение потребует меньших вычислений. Поэтому лучше сделать замену переменной \(\displaystyle t=\color{red}{x^2-5x+7} {\small.}\)

Приведём выражение \(\displaystyle \frac{2}{t-1}+\frac{3}{t}-\frac{8}{t+1}\) к общему знаменателю \(\displaystyle t(t-1)(t+1){\small :}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{2}{t-1}+\frac{3}{t}-\frac{8}{t+1}&=\frac{2 \cdot t \cdot (t+1) + 3 \cdot (t-1)(t+1) -8 \cdot t \cdot (t-1)}{t(t-1)(t+1)}=\\[5px]&=\frac{2t^2+2t+3t^2-3-8t^2+8t}{t(t-1)(t+1)}=\frac {-3t^2+10t-3}{t(t-1)(t+1)}{\small .} \end{aligned}\)

Полученное уравнение

\(\displaystyle \frac {-3t^2+10t-3}{t(t-1)(t+1)}=0\)

умножим на \(\displaystyle -1{\small ,}\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle t^2\) в числителе:

\(\displaystyle \frac {3t^2-10t+3}{t(t-1)(t+1)}=0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-10)^2-4 \cdot 3 \cdot 3=100-36=64=8^2{\small .}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}t_1&=\frac{10+8}{2 \cdot 3 }=3{ \small ,}\\[5px]t_2&=\frac{10-8}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}{\small .}\end{aligned}\)

Найдем значения \(\displaystyle t{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle t(t-1)(t+1)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)

\(\displaystyle 3\, \cancel{=} \, 0{ \small ,}\) \(\displaystyle 3\, \cancel{=} \, 1{ \small ,}\) \(\displaystyle 3\, \cancel{=}-1{ \small ,}\)

и

\(\displaystyle \frac{1}{3}\, \cancel{=} \, 0{ \small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\, \cancel{=} \, 1{ \small ,}\) \(\displaystyle \frac{1}{3}\, \cancel{=}-1{ \small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-5)^2-4 \cdot4=25-16=9=3^2{\small .}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{5+3}{2}=4{ \small ;}\\[5px]x_2&=\frac{5-3}{2}=1{\small .}\end{aligned}\)

 \(\displaystyle x^2-5x+\frac{20}{3}=0\,\,\bigg| \red{\cdot 3}\)

\(\displaystyle 3x^2-15x+20=0{\small .}\)

\(\displaystyle {\rm D}=(-15)^2-4 \cdot 3 \cdot 20=225-240=-15<0{\small .}\)

Так как \(\displaystyle {\rm D}<0{\small ,}\) квадратное уравнение не имеет действительных корней.