Решите систему уравнений:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}3x^2+y=4{\small,}\\2x^2-y=1{\small.}\end{aligned}\right.\)
Решением системы уравнений являются пары чисел:
\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle )\) и \(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle ){\small.}\)
Исходная система уравнений с двумя переменными не является линейной.
Но в ней встречаются только переменные \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle y{\small.}\)
При этом слагаемое \(\displaystyle y\) содержится в уравнениях системы с противоположными знаками:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}3x^2\color{blue}{+y}=4{\small,}\\2x^2\color{blue}{-y}=1{\small.}\end{aligned}\right.\)
Значит, при сложении уравнений системы получится уравнение, не содержащее переменную \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{cases}\ 3x^2\color{blue}{+y}=4{\small,}\\2x^2\color{blue}{-y}=1\\\end{cases}}\\5x^2+0=5{\small\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Заменим полученным уравнением одно из уравнений системы (например, первое):
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&5x^2 = 5{\small,}\\&2x^2-y=1{\small.}\end{aligned}\right.\)
Первое уравнение системы содержит только переменную \(\displaystyle x{\small.}\)
Решим это уравнение.
\(\displaystyle x=\color{magenta}{1}{\small,}\) \(\displaystyle x=\color{magenta}{-1}{\small.}\)
Найдём \(\displaystyle y\) из второго уравнения системы \(\displaystyle 2x^2-y=1{\small,}\) предварительно выразив \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle y=2x^2-1{\small.}\)
Получим:
Заметим, что удобнее подставлять в уравнение \(\displaystyle y=2\color{red}{x^2}-1{\small}\) не два найденных значения \(\displaystyle x{\small}\) по очереди, а \(\displaystyle \color{red}{x^2} = \color{red}{1}{\small, }\) так как значение переменной \(\displaystyle y\) зависит только от значения \(\displaystyle x^2 {\small.}\)
Таким образом, исходная система имеет два решения:
\(\displaystyle (1;1){\small,}\)
\(\displaystyle (-1;1){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (1;1){\small}\) и \(\displaystyle (-1;1){\small.}\)