Решите систему уравнений:
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}3x+xy-2y=6,\\x-xy+y=-3.\end{array}\right.\)
Решением системы уравнений являются пары чисел:
\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle )\) и \(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle ){\small.}\)
Уравнения системы не являются линейными.
Заметим, что слагаемое \(\displaystyle xy\) содержится в уравнениях системы с противоположными знаками:
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}3x\color{red}{+xy}-2y=6,\\x\color{red}{-xy}+y=-3.\end{aligned}\right.\)
Прибавим к первому уравнению системы второе, а второе уравнение перепишем без изменений:
\(\displaystyle\left\{ \begin{aligned}3x&+xy-2y+\color{blue}{(x-xy+y)}=6+\color{blue}{(-3)}{\small,}\\x-&xy+y=-3{\small ; }\end{aligned}\right.\) |
\(\displaystyle\left\{ \begin{aligned}3x&+xy-2y+x-xy+y=6+\color{blue}{(-3)}{\small,}\\x-&xy+y=-3{\small ; }\end{aligned}\right.\) |
\(\displaystyle\left\{ \begin{aligned}4&x-y=3,\\x&-xy+y=-3.\end{aligned} \right. \) |
Выразим переменную \(\displaystyle y\) из первого уравнения полученной системы и подставим во второе:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} y&=\color{blue}{4x-3}{\small , }\\ x&-x\color{blue}{y}+\color{blue}{y}=-3{\small;} \end{aligned} \right. \) |
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}y&=\color{blue}{4x-3},\\x&-x(\color{blue}{4x-3})+\color{blue}{4x-3}=-3{\small;}\end{aligned} \right. \) |
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}y&=4x-3,\\x&-4x^{\,2}+3x+4x-3+3=0{\small.}\end{aligned} \right. \) |
Получили систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned}y&=4x-3,\\8x&-4x^{\,2}=0{\small.}\end{aligned} \right. \) |
Второе уравнение системы является квадратным.
\(\displaystyle x_1=0{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
Подставляя найденные значения \(\displaystyle x{\small}\) в первое уравнение системы
\(\displaystyle y=4x-3{\small,}\)
вычислим соответствующие значения \(\displaystyle y{\small.}\)
- Если \(\displaystyle \color{magenta}{x=0}{\small,}\) то
\(\displaystyle y=4 \cdot\color{magenta}{0}-3{\small,}\)
\(\displaystyle \blue{y=-3}{\small .}\)
- Если \(\displaystyle \color{magenta}{x=2}{\small,}\) то
\(\displaystyle y=4 \cdot\color{magenta}{2}-3{\small,}\)
\(\displaystyle \blue{y=5}{\small.}\)
Таким образом, решения исходной системы:
\(\displaystyle (\color{magenta}{0}{\small;}\blue{-3}){\small,}\)
\(\displaystyle (\color{magenta}{2}{\small;}\,\blue{5}){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (0{\small;}{-3}){\small}\) и \(\displaystyle ({2}{\small;}\,{5}){\small.}\)