Решите систему уравнений:
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}5x^2+4y=13{\small,}\\3x^2-2y=-1{\small.}\end{array}\right.\)
Решением системы уравнений являются пары чисел:
\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle )\) и \(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\) \(\displaystyle ){\small.}\)
В системе содержатся только слагаемые, содержащие \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle y{\small.}\)
Заметим, что умножая обе части второго уравнения на \(\displaystyle 2{\small,}\) получим в нём слагаемое \(\displaystyle -4y{\small,}\) противоположное слагаемому \(\displaystyle 4y{\small}\) первого уравнения.
Тогда, сложив первое и удвоенное второе уравнения системы, сможем исключить переменную \(\displaystyle y{\small.}\)
Домножим обе части второго уравнения на \(\displaystyle \color{blue}2{\small:}\)
\(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}5x^2+4y=13{\small,}\\\color{blue}{2}\cdot( 3x^2-2y)=\color{blue}{2}\cdot(-1){\small,}\end{array}\right.\)
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}5x^2+4y=13{\small,}\\6x^2-4y=-2{\small.}\end{aligned}\right.\)
К левой части первого уравнения прибавим левую часть второго уравнения, а к правой – правую.
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{blue}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{blue}{+}\begin{cases}5x^2+4y=13{\small,}\\6x^2-4y=-2\\\end{cases}}\\11x^2+0=11{\small.\ \ \ \ }\end{aligned}\)
Заменим полученным уравнением одно из уравнений системы (например, первое).
Получим систему
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}&11x^2=11{\small,}\\&3x^2-2y=-1{\small.}\end{aligned}\right.\)
Теперь первое уравнение системы содержит только переменную \(\displaystyle x{\small.}\)
Решим это уравнение.
\(\displaystyle \color{magenta}{x=1}{\small;}\) \(\displaystyle \color{magenta}{x=-1}{\small.}\)
Подставляя найденные значения \(\displaystyle x{\small}\) во второе уравнение системы
\(\displaystyle 3{x^2}-2y=-1{\small,}\)
вычислим соответствующие значения \(\displaystyle y{\small.}\)
Таким образом, исходная система имеет два решения:
\(\displaystyle (\color{magenta}1{\small;}\,\blue{2}){\small}\) и \(\displaystyle (\color{magenta}{-1}{\small;}\,\blue{2}){\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle (1{\small;}\,{2}){\small}\) и \(\displaystyle ({-1}{\small;}\,{2}){\small.}\)
Заметим, что и при \(\displaystyle {x=1}{\small,}\) и при \(\displaystyle {x=-1}{\small}\) выполняется \(\displaystyle {x^2=1}{\small .}\)
Поэтому в уравнение
\(\displaystyle 3{x^2}-2y=-1{\small}\)
можно подставить \(\displaystyle \color{red}{x^2} = \color{red}{1}{\small}\) и найти значения \(\displaystyle y{\small}\) сразу для \(\displaystyle {x=1}{\small}\) и \(\displaystyle {x=-1}{\small.}\)