С помощью угольника проверьте на рисунке, являются ли точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричными относительно:
1) прямой\(\displaystyle k\small{;}\)
2) прямой\(\displaystyle m\small{.}\)
Для перемещения угольника используйте мышь, для вращения — розовые кнопки.
Решение
Определение
Осевая симметрия
Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle a\small{,}\)если они расположены на прямой, перпендикулярной прямой \(\displaystyle a\small{,}\) и на равном расстоянии от неё.
Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией. Прямая \(\displaystyle a\) называется осью симметрии.
Точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)несимметричны относительно прямой\(\displaystyle k\small{.}\)
Проверим, являются ли точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричными относительно прямой\(\displaystyle k\small{.}\)
Если прямая\(\displaystyle k\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\small{,}\)то эти точки должны лежать на прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle k\small{,}\)на равном расстоянии от неё.
Информация
Расстояние от точки до прямой на плоскости равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой.
Расположим угольник, как на картинке, проведем через точку\(\displaystyle A\)перпендикуляр к прямой\(\displaystyle k\small{,}\)отметим на пересечении перпендикуляра и прямой точку\(\displaystyle E\)и измерим длину отрезка\(\displaystyle AE\small{.}\)
Видим, что прямая\(\displaystyle AE\)перепендикулярна прямой\(\displaystyle k\small{,}\)а расстояние от точки\(\displaystyle A\)до прямой\(\displaystyle k\small{,}\)равное длине отрезка\(\displaystyle AE\small{,}\)составляет\(\displaystyle 6\)см.
Расположим угольник, как на картинке, и проведем вправо продолжение прямой\(\displaystyle AE\small{.}\)
Видим, что прямая\(\displaystyle AE\)проходит через точку\(\displaystyle B\small{,}\)а расстояние от точки\(\displaystyle B\)до прямой\(\displaystyle k\small{,}\)равное длине отрезка\(\displaystyle BE\small{,}\)составляет\(\displaystyle 8\)см.
Хотя точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)расположены на прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle k\small{,}\)раccтояния от точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)до прямой\(\displaystyle k\)неодинаковые\(\displaystyle (AE=6\)см, \(\displaystyle BE=8\)см\(\displaystyle )\).
Значит, точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)несимметричны относительно прямой\(\displaystyle k\small{.}\)
Точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle m\small{.}\)
Проверим, являются ли точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричными относительно прямой\(\displaystyle m\small{.}\)
Если прямая\(\displaystyle m\)— ось симметрии для точек\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\small{,}\)то эти точки должны лежать на прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle m\small{,}\)на равном расстоянии от неё.
Информация
Расстояние от точки до прямой на плоскости равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой.
Расположим угольник, как на картинке, проведем через точку\(\displaystyle A\)перпендикуляр к прямой\(\displaystyle m\small{,}\)отметим на пересечении перпендикуляра и прямой точку\(\displaystyle F\)и измерим длину отрезка\(\displaystyle AF\small{.}\)
Видим, что отрезки\(\displaystyle AF\)и\(\displaystyle AE\)принадлежат одной и той же прямой — прямой, перепендикулярной прямой\(\displaystyle m\)и проходящей через точку\(\displaystyle B\small{,}\)а расстояние от точки\(\displaystyle A\)до прямой\(\displaystyle m\small{,}\)равное длине отрезка\(\displaystyle AF\small{,}\)составляет\(\displaystyle 7\)см.
Расположив угольник, как на картинке, измерим расстояние от точки\(\displaystyle B\)до прямой\(\displaystyle m\small{.}\)
Видим, что расстояние от точки\(\displaystyle B\)до прямой\(\displaystyle m\small{,}\)равное длине отрезка\(\displaystyle BF\small{,}\)составляет\(\displaystyle 7\)см.
Так как точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)расположены на прямой, перпендикулярной прямой\(\displaystyle m\small{,}\)и\(\displaystyle AF=BF=7\)см, то точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)являются симметричными относительно прямой\(\displaystyle m\small{.}\)
Ответ: точки\(\displaystyle A\)и\(\displaystyle B\)симметричны относительно прямой\(\displaystyle m\small{,}\)но несимметричны относительно прямой\(\displaystyle k\small{.}\)
