Skip to main content

Теория: Степень в степени (целые показатели)

Задание

Найдите показатель степени для любого ненулевого числа \(\displaystyle y:\)

 

\(\displaystyle \left(\left(\,y^{\,-3}\right)^{6}\right)^{-4}=\Bigl(\,y\)
\(\displaystyle \Bigr)^{-4}=y\)
Решение

Воспользуемся дважды правилом степень в степени.

Правило

Степень в степени

Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любых целых чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}\).

Первое действие.

\(\displaystyle \left(y^{\, \color{blue}{-3}}\right)^{\color{green}{6}}=y^{\,\color{blue}{(-3)}\cdot \color{green}{6}}=y^{\,\bf -18}.\)

Подставим получившийся результат в исходное выражение:

\(\displaystyle \left( \left(y^{\, \color{blue}{-3}}\right)^{\color{green}{6}}\right)^{\color{red}{-4}}=\left(y^{\,\bf -18}\right)^{\color{red}{-4}}.\)

 

Второе действие.

\(\displaystyle \left(y^{\,\bf -18}\right)^{\color{red}{-4}}=y^{\,{\bf (-18)}\cdot \color{red}{(-4)}}=y^{\, \bf 72}.\)

 

Записывая данные действия вместе, получаем:

\(\displaystyle \left( \left(y^{\, \color{blue}{-3}}\right)^{\color{green}{6}}\right)^{\color{red}{-4}}=\left(y^{\,\color{blue}{(-3)}\cdot \color{green}{6}}\right)^{\color{red}{-4}}=\left(y^{\,\bf -18}\right)^{\color{red}{-4}}=y^{\,{\bf (-18)}\cdot \color{red}{(-4)}}=y^{\, \bf 72}.\)

Ответ: \(\displaystyle \left(\left(y^{\,-3}\right)^{6}\right)^{-4}=\left(y^{\,\bf -18}\right)^{-4}=y^{\, \bf 72}.\)