Первая труба заполняет бак в \(\displaystyle 2\) раза дольше, чем вторая труба. Если открыть две трубы, то бак заполнится за \(\displaystyle 2\) часа. За какой промежуток времени заполнит бак каждая из труб?
| Первая труба – за ч.; |
| вторая труба – за ч. |
Примем объём бака за \(\displaystyle 1{\small .}\)
Пусть первая труба заполняет бак за \(\displaystyle x{\small , }\) а вторая – за \(\displaystyle y{\small }\) часов.
Известно, что первая труба заполняет бак в \(\displaystyle 2\) раза дольше, чем вторая, то есть
\(\displaystyle x=2y{\small .}\)
Часть бака, которую заполняет за час первая труба, составляет \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small .}\)
Эта же величина для второй трубы равна \(\displaystyle \frac{1}{y}{\small .}\)
Согласно условию, две трубы при совместной работе заполняют бак за \(\displaystyle 2\) часа, то есть
\(\displaystyle 2 \cdot \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=1{\small }\) или \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\frac{1}{2}{\small. }\)
Запишем систему уравнений и решим её.
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}x&=2y{ \small ,}\\\frac{1}{x}&+\frac{1}{y} =\frac{1}{2}{\small .}\\\end{aligned}\right.\)
В первом уравнении переменная \(\displaystyle x\) уже выражена через \(\displaystyle y{\small. }\)
Подставим \(\displaystyle x=2y\) вместо \(\displaystyle x\) во второе уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{2y}+\frac{1}{y} =\frac{1}{2}{\small. }\)
Решим полученное уравнение.
Корень уравнения \(\displaystyle \frac{1}{2y}+\frac{1}{y} =\frac{1}{2}{\small :}\)
\(\displaystyle y=3{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle x{\small,}\) подставив \(\displaystyle y\) в выражение \(\displaystyle x=2\color{blue}{y}{\small:}\)
- при \(\displaystyle y=\color{blue}{3}\)
\(\displaystyle x=2 \cdot \color{blue}{3}=6{\small.}\)
Значит первая труба заполнит бак за \(\displaystyle 6\) часов, а вторая – за \(\displaystyle 3{ \small }\) часа.
| Ответ: | первая труба – за \(\displaystyle 6\) ч.; |
| вторая труба – за \(\displaystyle 3\) ч. |