Теория: 13 Решение текстовых задач на работу с помощью системы уравнений

Примем всю работу за \(\displaystyle 1{\small .}\)

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за \(\displaystyle x{\small , }\) а второй – за \(\displaystyle y{\small }\) дней.

Известно, что первый рабочий выполнит работу на \(\displaystyle 10\) дней быстрее, чем второй, то есть

\(\displaystyle y-x=10{\small .}\)

Часть работы, которую выполняет за день первый рабочий, составляет \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small .}\)

Эта же величина для второго рабочего равна \(\displaystyle \frac{1}{y}{\small .}\) 

Согласно условию, вместе рабочие выполнят всю работу за \(\displaystyle 12\) дней, то есть

\(\displaystyle 12 \cdot \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=1{\small }\) или  \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\frac{1}{12}{\small. }\)

Запишем систему уравнений и решим её.

\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y-x&=10{ \small ,}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{12}{\small .}\\\end{aligned}\right.\)

Выразим переменную \(\displaystyle y\) из первого уравнения

\(\displaystyle y=x+10{\small }\)

 и подставим во второе:

 \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+10} =\frac{1}{12}{\small. }\)

Решим полученное уравнение.

Поскольку \(\displaystyle x \) – это время, то \(\displaystyle x>0{\small .}\)  Значит, подходит только\(\displaystyle x=20{ \small .}\)

Найдем \(\displaystyle y{\small,}\) подставив \(\displaystyle x\) в выражение \(\displaystyle y=\color{blue}{x}+10{\small:}\)

• при \(\displaystyle x=\color{blue}{20}\) 

\(\displaystyle y=\color{blue}{20}+10=30{\small.}\)

Значит первый рабочий выполнит работу за \(\displaystyle 20{ \small ,}\) а второй – за \(\displaystyle 30{ \small }\) дней.