Два маляра, работая вместе, могут покрасить офис за \(\displaystyle 12\) часов. Если сначала ровно половину офиса покрасит один маляр, а затем вторую половину – другой, то на покраску потребуется \(\displaystyle 25\) часов. За какое время мог бы покрасить офис каждый маляр в отдельности?
За и часов.
Примем всю работу (покраску офиса) за \(\displaystyle 1{\small .}\)
Пусть один маляр может выполнить всю работу за \(\displaystyle x{\small , }\) а другой – за \(\displaystyle y{\small }\) часов.
Тогда часть работы, которую выполняет за один час каждый маляр, составляет \(\displaystyle \frac{1}{x}\) и \(\displaystyle \frac{1}{y}{\small .}\)
Согласно условию, вместе маляры выполнят всю работу за \(\displaystyle 12\) часов, то есть
\(\displaystyle 12 \cdot \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=1{\small }\) или \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\frac{1}{12}{\small. }\)
Так как маляры выполняют всю работу за \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) часов, то на выполнение половины работы (покраску половины офиса) им потребуется \(\displaystyle \frac {x}{2}\) и \(\displaystyle \frac {y}{2}\) часов соответственно.
Так как при таком режиме работы на покраску уйдёт \(\displaystyle 25\) часов, получаем уравнение:
\(\displaystyle \frac {x}{2}+\frac {y}{2}=25{\small .}\)
Запишем систему уравнений и решим её.
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{12}\\[10px]\frac {x}{2}+\frac {y}{2}&=25{ \small .}\\\end{aligned}\right.\)
Умножим второе уравнение системы на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac {x}{2}+\frac {y}{2}=25\,\,\bigg| \red{\cdot 2}\)
\(\displaystyle x+y=50{\small. }\)
и выразим переменную \(\displaystyle y\) через \(\displaystyle x {\small: }\)
\(\displaystyle y=50-x{\small .}\)
Подставим полученное выражение вместо \(\displaystyle y\) в первое уравнение системы:
\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{50-x} =\frac{1}{12}{\small. }\)
Решим полученное уравнение.
Корни уравнения \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{50-x} =\frac{1}{12}{\small :}\)
\(\displaystyle x=30\) и \(\displaystyle x=20{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle y{\small,}\) подставив \(\displaystyle x\) в выражение \(\displaystyle y=50-\color{blue}{x}{\small:}\)
- при \(\displaystyle x=\color{blue}{30}\)
\(\displaystyle y=50-\color{blue}{30}=20{\small.}\)
- при \(\displaystyle x=\color{blue}{20}\)
\(\displaystyle y=50-\color{blue}{20}=30{\small.}\)
Таким образом, система имеет два решения: \(\displaystyle (20;30)\) и \(\displaystyle (30;20){\small.}\)
Заметим, что мы никак не отличаем одного маляра от другого, поэтому данные ответы значат одно
и то же:
маляры покрасят офис, работая по отдельности, за \(\displaystyle 20\) и \(\displaystyle 30\) часов.
Ответ: за \(\displaystyle 20\) и \(\displaystyle 30\) часов.