Две экскаватора различной мощности, работая вместе, могут вырыть котлован за \(\displaystyle 6\) дней. Если сначала первый экскаватор выроет пятую часть котлована, а затем второй экскаватор закончит работу, им понадобится \(\displaystyle 14\) дней. Известно, что первый экскаватор тратит на рытье котлована (при самостоятельной работе) меньше \(\displaystyle 30\) дней. За какое время мог бы вырыть этот котлован каждый экскаватор, работая отдельно?
Первый за , второй – за дней.
Примем всю работу (рытьё котлована) за \(\displaystyle 1{\small .}\)
Пусть первый экскаватор может выполнить всю работу за \(\displaystyle x{\small , }\) а второй – за \(\displaystyle y{\small }\) дней.
Часть работы, которую выполняет за день первый экскаватор, составляет \(\displaystyle \frac{1}{x}{\small .}\)
Эта же величина для второго экскаватора равна \(\displaystyle \frac{1}{y}{\small .}\)
Согласно условию, вместе экскаваторы выполнят всю работу за \(\displaystyle 6\) дней, то есть
\(\displaystyle 6 \cdot \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)=1{\small }\) или \(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y} =\frac{1}{6}{\small. }\)
Так как первый экскаватор выполняет всю работу за \(\displaystyle x\) дней, то на выполнение пятой части работы ему потребуется \(\displaystyle \frac {1}{5}\,x \) дней.
Второму экскаватору при этом придется выполнить \(\displaystyle 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\) частей работы. На это ему потребуется \(\displaystyle \frac {4}{5}\,y \) дней.
Так как при таком режиме работы котлован будет вырыт за \(\displaystyle 14\) дней, получаем уравнение:
\(\displaystyle \frac {1}{5}\,x+\frac {4}{5}\,y =14{\small .}\)
Запишем систему уравнений и решим её.
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}\frac{1}{x}+\frac{1}{y} &=\frac{1}{6}{ \small ,}\\[10px]\frac {1}{5}\,x+\frac {4}{5}\,y&=14{ \small .}\\\end{aligned}\right.\)
Умножим второе уравнение системы на \(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle \frac {1}{5}\,x+\frac {4}{5}\,y=14\,\,\bigg| \red{\cdot 5}\)
\(\displaystyle x+4y=70{\small. }\)
и выразим переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y {\small: }\)
\(\displaystyle x=70-4y{\small .}\)
Подставим полученное выражение вместо \(\displaystyle y\) в первое уравнение системы:
\(\displaystyle \frac{1}{70-4y}+\frac{1}{y} =\frac{1}{6}{\small. }\)
Решим полученное уравнение.
Корни уравнения \(\displaystyle \frac{1}{70-4y}+\frac{1}{y} =\frac{1}{6}{\small :}\)
\(\displaystyle y=15\) и \(\displaystyle y=7{\small .}\)
Найдем \(\displaystyle x{\small,}\) подставив \(\displaystyle y\) в выражение \(\displaystyle x=70-4\color{blue}{y}{\small:}\)
- при \(\displaystyle y=\color{blue}{15}\)
\(\displaystyle x=70-4 \cdot \color{blue}{15}=10{\small.}\)
- при \(\displaystyle y=\color{blue}{7}\)
\(\displaystyle x=70-4 \cdot \color{blue}{7}=42{\small.}\)
Значение \(\displaystyle x=42\) не удовлетворяет условию задачи, так как первый экскаватор тратит на рытье котлована (при самостоятельной работе) меньше \(\displaystyle 30\) дней, то есть \(\displaystyle \color {red}{x<30}{\small.}\)
Таким образом, получено одно решение: \(\displaystyle x=10\) и \(\displaystyle y=15{\small .}\)
Значит, первый экскаватор выроет котлован за \(\displaystyle 10{\small ,}\) а второй – за \(\displaystyle 15\) дней.
Ответ: первый за \(\displaystyle 10{ \small ,} \) второй – за \(\displaystyle 15 \) дней.