Skip to main content

Теория: 11 Решение текстовых задач на движение с помощью системы уравнений (движение по прямой) (короткая версия)

Задание

Из пункта \(\displaystyle А\) в пункт \(\displaystyle В{ \small ,}\) расстояние между которыми \(\displaystyle 35\) км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода. Через \(\displaystyle 3\) часа расстояние между ними составляло \(\displaystyle 8\) км. Если бы из пункта \(\displaystyle А\) пешеход вышел на \(\displaystyle 2\) часа раньше, то встреча произошла бы в \(\displaystyle 15\) км от пункта \(\displaystyle В {\small .}\) С какой скоростью шёл каждый пешеход? Ответ дайте в км/ч.

скорость пешехода, вышедшего из \(\displaystyle А{ \small :}\)  км/ч;
скорость пешехода, вышедшего из \(\displaystyle В{ \small :}\)   км/ч.
Решение

Пусть \(\displaystyle x\) км/ч – скорость пешехода, вышедшего из \(\displaystyle А{ \small }\) (назовём его первым), а \(\displaystyle y\) км/ч – скорость пешехода, вышедшего из \(\displaystyle В{ \small }\) (назовём его вторым).

 Так как через \(\displaystyle 3\) часа расстояние между пешеходами составляло \(\displaystyle 8\) км, получаем уравнение:

\(\displaystyle 3x+3y=27{\small .}\)

Если бы из пункта \(\displaystyle А\) пешеход вышел на \(\displaystyle 2\) часа раньше, то встреча произошла бы в \(\displaystyle 15\) км от пункта \(\displaystyle В {\small .}\) Можем составить уравнение:

\(\displaystyle \frac{20}{x}-\frac{15}{y}=2{\small .}\)

Запишем систему уравнений и решим её:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x+3y=27\\[5px]\frac{20}{x}-\frac{15}{y}=2{\small .}\\\end{aligned}\right.\)

Выразим переменную \(\displaystyle y\) из первого уравнения системы:

\(\displaystyle y=9-x{\small }\)

и подставим во второе:

\(\displaystyle \frac{20}{x}-\frac{15}{9-x}=2{\small .}\)

Решим полученное уравнение.

Корни уравнения \(\displaystyle \frac{20}{x}-\frac{15}{9-x}=2{\small :}\)

\(\displaystyle x=22{,}5\) и \(\displaystyle x=4{\small .}\)

Найдем \(\displaystyle y{\small,}\) подставив \(\displaystyle x\) в выражение \(\displaystyle y=9-\color{blue}{x}{\small:}\)

  • при \(\displaystyle x=\color{blue}{22{,}5}\) 

\(\displaystyle y=9-\color{blue}{22{,}5}=-13{,}5 \color{red}{<0}{\small}\)
 не удовлетворяет смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной.

  • при \(\displaystyle x=\color{blue}{4}\) 

\(\displaystyle y=9-\color{blue}{4}=5{\small.}\)

Значит, скорость первого пешехода составляет \(\displaystyle 4\)км/ч, а скорость второго – \(\displaystyle 5\)км/ч.

Ответ:скорость пешехода,  вышедшего из \(\displaystyle А{ \small :}\)  \(\displaystyle 4\)км/ч;
 скорость пешехода,  вышедшего из \(\displaystyle В{ \small :}\)  \(\displaystyle 5\)км/ч.