Из пункта \(\displaystyle А\) в пункт \(\displaystyle В{ \small ,}\) расстояние между которыми \(\displaystyle 72\) км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на \(\displaystyle 50\) км больше, чем велосипедист. Велосипедист прибыл в пункт \(\displaystyle В\) на \(\displaystyle 6\) часов позже автомобилиста. С какой скоростью двигались велосипедист и автомобилист? Ответ дайте в км/ч.
| скорость велосипедиста: | км/ч; |
| скорость автомобилиста: | км/ч. |
Пусть \(\displaystyle x \) км/ч – скорость велосипедиста, \(\displaystyle y\) км/ч – скорость автомобилиста.
По условию задачи за час автомобилист проезжает на \(\displaystyle 50\) км больше, чем велосипедист. Значит, скорость автомобилиста на \(\displaystyle 50\) км/ч больше, чем скорость велосипедиста.
Получаем уравнение:
\(\displaystyle y-x=50{\small .} \)
При этом время, затраченное велосипедистом на весь путь, равно \(\displaystyle \color{blue}{ \frac{72}{ x }}{\small .} \) А время, затраченное автомобилистом на весь путь, равно \(\displaystyle \color{green}{ \frac{72}{y}}{\small .} \)
Известно, что велосипедист прибыл в пункт \(\displaystyle B \) на \(\displaystyle 6 \) часов позже автомобилиста. Значит, велосипедист потратил на путь из \(\displaystyle А\) в \(\displaystyle В{ \small }\) на \(\displaystyle 6\)часов больше, чем автомобилист. Можем записать уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{ \frac{72}{ x }}-\color{green}{ \frac{72}{y}}=6{\small .} \)
Получили систему уравнений:
\(\displaystyle \begin{cases}y-x=50 {\small,} \\[5px]\dfrac{72}{ x }-\dfrac{72}{y}=6{\small.}\end{cases} \)
Решим полученную систему уравнений.
Для этого выразим одну переменную (например, \(\displaystyle y\)) из первого уравнения системы
\(\displaystyle y=x+50\)
и подставим во второе:
\(\displaystyle \frac{72}{ x}-\frac{72}{x+50}=6{\small.}\)
Решим полученное уравнение.
Корни уравнения \(\displaystyle \frac{72}{ x}-\frac{72}{x+50}=6{\small:}\)
\(\displaystyle x=10{\small,}\) \(\displaystyle x=-60{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle x \) – это скорость, то \(\displaystyle x>0{\small .}\) Значит, подходит только \(\displaystyle x=10{ \small .}\)
Найдем \(\displaystyle y{\small,}\) подставив \(\displaystyle x\) в выражение \(\displaystyle y=\color{blue}{x}+50{\small:}\)
- при \(\displaystyle x=\color{blue}{10}\)
\(\displaystyle y=\color{blue}{10}+50=60{\small.}\)
Значит, скорость велосипедиста составляет \(\displaystyle 10\)км/ч, а скорость автомобилиста – \(\displaystyle 60\)км/ч.
| Ответ: | скорость велосипедиста: | \(\displaystyle 10\)км/ч; |
| скорость автомобилиста: | \(\displaystyle 60\)км/ч. |