Известно, что \(\displaystyle 2<a<7\) и \(\displaystyle 5<b<9{\small .}\) Оцените сумму \(\displaystyle a+b{\small .}\)
Воспользуемся правилом
Сложение неравенств
Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b},\, \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что
\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{blue}{x}<\color{green}{y}{\small,}\)
то
\(\displaystyle \color{blue}{a}+\color{blue}{x}<\color{green}{b}+\color{green}{y}{\small.}\)
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Заметим, что
- двойное неравенство \(\displaystyle 2<a<7\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle a>2\) и \(\displaystyle a<7{\small;}\)
- двойное неравенство \(\displaystyle 5<b<9\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle b>5\) и \(\displaystyle b<9{\small.}\)
Почленно сложим неравенства одного знака:
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{aligned}\,\, \color{blue}{a}&>\color{green}{2}{\small}\\\color{blue}{b}&>\color{green}{5}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{blue}{a}+\color{blue}{b}>\color{green}{2}+\color{green}{5}{\small,} {\small\ \ \ } \\a+b>7{\small;} {\small\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
| \(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{aligned}\,\, \color{blue}{a}&<\color{green}{7}{\small}\\\color{blue}{b}&<\color{green}{9}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{blue}{a}+\color{blue}{b}<\color{green}{7}+\color{green}{9}{\small,}{\small\ \ \ \ \ } \\a+b<16{\small.} {\small\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\) |
Так как одновременно выполнены неравенства \(\displaystyle a+b>7\) и \(\displaystyle a+b<16{\small,}\) можем записать двойное неравенство
\(\displaystyle 7<a+b<16{\small.}\)
Можно складывать и двойные неравенства:
\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{\color{red}{+}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{2}<\color{blue}{a}&<\color{green}{7}{\small}\\\color{orange}{5}<\color{blue}{b}&<\color{green}{9}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{2}+\color{orange}{5}<\color{blue}{a}+\color{blue}{b}<\color{green}{7}+\color{green}{9}{\small,} \\7<a+b<16 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 7<a+b<16{\small.}\)