Skip to main content

Теория: Решение систем двух нелинейных уравнений методом подстановки (короткая версия)

Задание

Решите методом подстановки систему уравнений: 

\(\displaystyle \begin{cases}2x^2 + 3y^2 = 14 {\small,}\\x^2 - y^2 = -3{\small.}\end{cases} \)

 

Решения системы:

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small.}\)
 

Введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется.

Решение

Дана система нелинейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}2x^2 + 3y^2 = 14 {\small,}\\x^2 - y^2 = -3{\small.}\end{cases} \)


Заметим, что в каждом из уравнений содержатся только квадраты пременных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small .}\) 

Поэтому,  чтобы воспользоваться методом подстановки, выразим квадрат одной переменной через квадрат другой.

Второе уравнение выглядит проще первого. Выразим из него \(\displaystyle x^2{\small:}\) 

\(\displaystyle \color{magenta}{\underline{{x^2}= \color{magenta}{y^2 - 3}{\small.}}}\)


Подставим в первое уравнение системы \(\displaystyle 2x^2 + 3y^2 = 14\) вместо \(\displaystyle \color{magenta}{x^2}\) выражение \(\displaystyle \color{magenta}{y^2 - 3}{\small:}\)

\(\displaystyle 2(\color{magenta}{y^2 - 3}) + 3y^2=14 {\small .}\)

Получили уравнение с одной переменной. Решим его.

Уравнение \(\displaystyle 2({y^2 - 3}) + 3y^2=14 {\small }\) имеет два корня:

 \(\displaystyle \blue{y=2}{\small}\) и \(\displaystyle \blue{y=-2}{\small.}\) 

Подставляя найденные значения \(\displaystyle y{\small}\) в выражение 

\(\displaystyle \color{magenta}{x^2}= \color{magenta}{y^2 - 3} {\small}\)

вычислим соответствующие значения \(\displaystyle x{\small.}\)

Если \(\displaystyle \blue{y=2}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{magenta}{x=1}{\small}\) или \(\displaystyle \color{magenta}{x=-1}{\small.}\) 

Если \(\displaystyle \blue{y=-2}{\small,}\) то \(\displaystyle \color{magenta}{x=1}{\small}\) или \(\displaystyle \color{magenta}{x=-1}{\small.}\) 

Таким образом, исходная система имеет четыре решения:

\(\displaystyle (\color{magenta}1{\small;}\,\blue{2}){\small,}\) \(\displaystyle (\color{magenta}{-1}{\small;}\,\blue{2}){\small,}\) \(\displaystyle (\color{magenta}{1}{\small;}\blue{-2}){\small}\) и \(\displaystyle (\color{magenta}{-1}{\small;}\,\blue{-2}){\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle (1{\small;}\,{2}){\small,}\) \(\displaystyle ({-1}{\small;}\,{2}){\small,}\) \(\displaystyle ({1}{\small;}{-2}){\small}\) и \(\displaystyle ({-1}{\small;}\,-2){\small.}\)


Замечание / комментарий

Заметим, что удобнее подставлять в уравнение  \(\displaystyle x^2=\color{red}{y^2}-3{\small}\) не два найденных значения \(\displaystyle y{\small}\) по очереди, а \(\displaystyle \color{red}{y^2} = \color{red}{4}{\small, }\) так как \(\displaystyle x^2\) зависит только от \(\displaystyle y^2 {\small.}\)