На плоскости построены графики уравнений \(\displaystyle y=-x+2\small\) и \(\displaystyle (x-1)^2+(y+1)^2=9 {\small.}\)
Выберите систему неравенств, множеством решений которой является закрашенная область.
\(\displaystyle \rm I\) | \(\displaystyle \rm II\) |
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y&\geqslant-x+2{\small,}\\(x&-1)^2+(y+1)^2\geqslant 9 {\small.}\end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y&\leqslant-x+2{\small,}\\(x&-1)^2+(y+1)^2\geqslant 9 {\small.}\end{aligned}\right.\) |
\(\displaystyle \rm III\) | \(\displaystyle \rm IV\) |
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y&\geqslant-x+2{\small,}\\(x&-1)^2+(y+1)^2 \leqslant 9 {\small.}\end{aligned}\right.\) | \(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y&\leqslant-x+2{\small,}\\(x&-1)^2+(y+1)^2 \leqslant 9 {\small.}\end{aligned}\right.\) |
Область на плоскости ограничена:
- прямой \(\displaystyle y=-x+2{\small ,}\)
- окружностью \(\displaystyle (x-1)^2+(y+1)^2=9\) \(\displaystyle (\)окружность с центром в точке \(\displaystyle (1;-1)\) и радиусом \(\displaystyle 3){\small .}\)
Воспользуемся правилами:
Решением неравенства \(\displaystyle y>kx+b {\small }\) являются координаты точек, расположенных выше прямой \(\displaystyle y=kx+b {\small .}\)
Решением неравенства \(\displaystyle y<kx+b {\small }\) являются координаты точек, расположенных ниже прямой \(\displaystyle y=kx+b {\small .}\)
Решением неравенства \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2< r^2 {\small }\) являются координаты точек, расположенных внутри круга с центром в точке \(\displaystyle C(a;b)\) и радиусом \(\displaystyle r {\small.}\)
Решением неравенства \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2> r^2 {\small }\) являются координаты точек, расположенных вне круга с центром в точке \(\displaystyle C(a;b)\) и радиусом \(\displaystyle r {\small.}\)
Заметим, что границы закрашенной области изображены сплошной линией. Значит, координаты точек, лежащих на границах, также принадлежат области.
Видим, что точки закрашенной области расположены одновременно
- не выше прямой \(\displaystyle y=-x+2\) (ниже прямой и на ней),
- внутри круга с центром в точке \(\displaystyle (1;-1)\) и радиусом \(\displaystyle 3\) и на его границе (окружности).
Значит, координаты этих точек одновременно удовлетворяют неравенствам:
\(\displaystyle y \color{blue}{\leqslant}-x+2\) и \(\displaystyle (x-1)^2+(y+1)^2 \color{green}{\leqslant } 9{\small,}\)
то есть являются решением системы
\(\displaystyle\left\{\begin{aligned}y &\leqslant -x+2{\small,}\\(x&-1)^2+(y+1)^2 \leqslant 9 {\small.}\end{aligned}\right.\)
Это система \(\displaystyle \rm IV {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \rm IV {\small.}\)