Skip to main content

Теория: Функция \(\displaystyle \small y=\frac{k}{x}\) и её график в задачах ОГЭ (короткая версия)

Задание

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают:

Перетащите сюда правильный ответ Перетащите сюда правильный ответ Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Даны три функции и три гиперболы, которые являются их графиками. Требуется установить соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Заметим, что ветви красной гиперболы лежат в первой и третьей четвертях координатной плоскости, а ветви синей и зеленой гипербол – во второй и четвёртой четвертях.

Воспользуемся правилом:

Правило

  • Если ветви гиперболы \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) расположены в I  и III координатных четвертях, то \(\displaystyle k>0{\small .}\) 
     
  • Если ветви гиперболы \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) расположены во II и IV  координатных четвертях, то \(\displaystyle k<0{\small .}\)

Значит, только красной гиперболе соответствует уравнение с коэффициентом \(\displaystyle k>0\small.\)

Среди представленных уравнений такое уравнение единственное – это \(\displaystyle y=\frac{3}{x} \small.\)
Оно и задаёт красную гиперболу. 

Осталось найти соответствия для двух оставшихся графиков – синего и зеленого, и двух уравнений : \(\displaystyle y=-\frac{3}{x}\)и \(\displaystyle y=-\frac{1}{3x}\)

Назовём график синего цвета – \(\displaystyle \color{blue}c \small,\) а график зеленого цвета \(\displaystyle \color{green} b \small.\)  

  1. На графике \(\displaystyle \color{green} b\) отметим точку, которая не лежит на графике \(\displaystyle \color{blue} c \small.\) 
  2. Подставим последовательно координаты этой точки в каждое из оставшихся уравнений.

По условию каждая гипербола задана одним из двух данных уравнений, и каждое уравнение задаёт только одну из двух данных гипербол. Тогда уравнение, которому удовлетворяют координаты выбранной точки, задаёт график \(\displaystyle \color{green} b \small.\)

Оставшееся уравнение задаёт график \(\displaystyle \color{blue} c \small.\) 


1. Отметим на графике \(\displaystyle \color{green} b \small\) точку, которая не лежит на графике \(\displaystyle \color{blue} c \small.\) 

Удобно выбрать точку с целочисленными координатами, например, точку \(\displaystyle A(\red3;\,\color{blue}{-1})\small.\) 

 

2. Подставим координаты точки \(\displaystyle A(\red3;\,\color{blue}{-1})\) по порядку в каждое из оставшихся уравнений.

Координаты \(\displaystyle A(3;\,-1)\) удовлетворяют уравнению \(\displaystyle y=-\frac{3}{x} {\small .}\)

Координаты \(\displaystyle A(3;\,-1)\) не удовлетворяют уравнению \(\displaystyle y=-\frac{1}{3x} {\small .}\)

Поскольку координаты точки \(\displaystyle A\) удовлетворяют уравнению \(\displaystyle y=-\frac{3}{x}{\small ,}\) то оно и задаёт зелёный график \(\displaystyle \color{green} b \small.\)

Тогда оставшееся уравнение \(\displaystyle y=-\frac{1}{3x}\) задаёт синий график \(\displaystyle \color{blue} c \small.\) 


Ответ:

\(\displaystyle y=\frac{3}{x}\)\(\displaystyle y=-\frac{1}{3x}\)\(\displaystyle y=-\frac{3}{x}\)

 

Замечание / комментарий

При решении можно было также воспользоваться свойством симметрии графиков.

Так как функция \(\displaystyle y=-\frac{3}{x}\) может быть получена из функции \(\displaystyle y=\frac{3}{x}\) домножением на \(\displaystyle -1{\small ,}\) то графики этих функций симметричны относительно оси \(\displaystyle Ox{\small .}\)

Видим, что красная и зелёная гиперболы обладают этим свойством.