Skip to main content

Теория: Свойства

Задание

Диагональ \(\displaystyle FC\) квадрата \(\displaystyle FECD\) равна \(\displaystyle 6\, \footnotesize см{\small.}\) Прямая, проходящая через точку \(\displaystyle F\) и перепендикулярная к прямой \(\displaystyle FC{\small,}\) пересекает прямые \(\displaystyle EC\) и \(\displaystyle CD\) соответственно в точках \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N{\small.}\) Найдите \(\displaystyle MN{\small.}\)

\(\displaystyle MN=\)  \(\displaystyle \, \footnotesize см{\small.}\)

Решение

По условию задачи выполним построение.

  • \(\displaystyle FECD\) – квадрат;
  • \(\displaystyle FC=6\, \footnotesize см{\small;}\)
  • \(\displaystyle F \in MN{\small;}\)
  • \(\displaystyle MN \perp FC{\small;}\)
  • \(\displaystyle M \in EC{\small;}\)
  • \(\displaystyle N \in CD{\small.}\)

Требуется найти длину отрезка \(\displaystyle MN{\small.}\)

Рассмотрим квадрат \(\displaystyle FECD{\small.}\)

Основные свойства квадрата

\(\displaystyle 1.\) Все углы квадрата прямые.

\(\displaystyle 2.\) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

По свойству квадрата диагональ \(\displaystyle FC\) делит угол \(\displaystyle C\) квадрата \(\displaystyle FECD\) пополам. То есть

 

\(\displaystyle \angle ECA= \angle DCF=90^{\circ}:2=45^{\circ}{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle FMC{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \angle FMC= 90^{\circ}-\angle FCM=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle FMC= \angle FCM{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle \triangle FMC\) – равнобедренный, то есть

\(\displaystyle FM=FC=6\, \footnotesize см{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle FNC{\small.}\)

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(\displaystyle 90^{\circ}{\small.}\) Тогда

\(\displaystyle \angle FNC= 90^{\circ}-\angle FCN=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle FNC= \angle FCN{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle \triangle FNC\) – равнобедренный, то есть

\(\displaystyle FN=FC=6\, \footnotesize см{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle F\) лежит на отрезке \(\displaystyle MN{\small,}\) то

\(\displaystyle MN=FM+FN=6+6=12\, \footnotesize см{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle MN=12\, \footnotesize см{\small.}\)